要点
- 一次不等式は数の範囲を表す。
- 方程式と同様に整理する。
- 負の数を掛ける・割ると不等号を反転する。
解説
一次不等式は、方程式とほぼ同じ手順で解けます。違うのは一か所だけです。負の数を掛けたり割ったりしたとき、不等号の向きが反転します。
この節で用いること
- 不等式を数直線上の範囲として読める。
- 一次不等式を式変形して解ける。
- 負の数を掛ける・割ると不等号が反転する理由を説明できる。
1. 不等式は数の範囲を表す
x > 2 は、「2より大きいすべての実数」を表します。
2自身は含まないので白丸にし、2より右側を示します。
2. 基本的な解き方
まずは方程式と同じように、文字を含む項と定数項を整理します。
具体例
3x − 5 < 7 → 3x < 12 → x < 4
ここでは正の数 3 で割っているので、不等号の向きは変わりません。
3. なぜ負の数で向きが変わるのか
数直線上で 2 < 5 を考えます。2は5より左にあります。
両方を −1 倍すると、2は −2へ、5は −5へ移ります。正負が反転すると、数直線上の左右関係も反転します。
2 < 5 → −2 > −5
注意
不等式の両辺に同じ負の数を掛ける、または両辺を同じ負の数で割るとき、不等号の向きを逆にします。
4. 負の係数を含む一次不等式
具体例
−2x + 3 ≥ 9 → −2x ≥ 6 → x ≤ −3
最後に両辺を −2 で割ったので、≥ を ≤ に反転します。
例題・練習
例題で解法を確認し、続く練習問題で同じ型を解く。
例題 1
一次不等式を解く
次の問いに答えよ。
-
(1)
3x-5<7
-
(2)
-2x+3\ge9
-
(3)
2(x-1)\le3x+4
指針
移項して x の項をまとめる。負の数で割るときは不等号を反転する。
模範解答を見る
(1)
\begin{aligned}3x-5&<7\3x&<12\x&<4\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}-2x+3&\ge9\-2x&\ge6\x&\le-3\end{aligned}
(3)
\begin{aligned}2x-2&\le3x+4\-6&\le x\x&\ge-6\end{aligned}
練習 1
基本
-
(1)
5x+2\le17
-
(2)
4-3x>10
-
(3)
3(x+2)<2x+8
解答を確認
(1)
x\le3
(2)
x<-2
(3)
x<2
例題 2
分数を含む一次不等式
次の問いに答えよ。
-
(1)
\frac{x-1}{2}>3
-
(2)
\frac{2x+1}{3}\le x-1
指針
分母を払ってから一次不等式として解く。
模範解答を見る
(1)
\begin{aligned}\frac{x-1}{2}&>3\x-1&>6\x&>7\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}2x+1&\le3x-3\4&\le x\x&\ge4\end{aligned}
練習 2
分数を含む不等式
-
(1)
\frac{x+2}{3}<4
-
(2)
\frac{3x-1}{2}\ge x+5
解答を確認
(1)
x<10
(2)
x\ge11
節末問題
例題の型を意識せず、自分で方針を選んで解く。
-
(1)
7x-4\ge10
-
(2)
-4x+1<13
-
(3)
5(x-2)\le2x+7
-
(4)
\frac{x+1}{4}>\frac{x-2}{2}
答えを確認
(1)x\ge2
(2)x>-3
(3)x\le\frac{17}{3}
(4)x<5
解説を見る
(1)
\begin{aligned}7x-4&\ge10\7x&\ge14\x&\ge2\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}-4x+1&<13\-4x&<12\x&>-3\end{aligned}
(3)
\begin{aligned}5(x-2)&\le2x+7\5x-10&\le2x+7\3x&\le17\x&\le\frac{17}{3}\end{aligned}
(4)
\begin{aligned}\frac{x+1}{4}&>\frac{x-2}{2}\x+1&>2x-4\5&>x\x&<5\end{aligned}