要点
- 平方完成は一般形を頂点形式に直す操作。
- x^2+bx では \left(\frac b2\right)^2 を利用する。
- x^2 の係数が1でないときは先にくくる。
解説
二次関数 y=ax²+bx+c のままでは、頂点の位置は読み取りにくい。平方完成は、式を「頂点が見える形」へ変える操作です。
1. 何のために平方完成するのか
y = a(x − p)² + q
この形なら頂点は (p, q) とすぐ読めます。平方完成は、計算そのものではなく グラフの位置を式から読むこと です。
2. x² + bx の半分を使う
具体例
6の半分は3。その2乗の9を足して、同時に9を引いています。
6 の半分は3。その3を2乗した9を「足して、同時に引く」のがポイントです。
3. x² の係数が1でない場合
具体例
まず \(x^2\) の係数2をくくり、その内側で平方完成します。
先に x² の係数をくくる。 そのあと、かっこの中で平方完成します。
4. 頂点を読む
y = 2(x − 2)² − 5
頂点は (2, −5)。また a=2>0 なので上に開きます。
例題・練習
例題で解法を確認し、続く練習問題で同じ型を解く。
例題 1
平方完成する
次の問いに答えよ。
-
(1)
x^2+6x+5
-
(2)
x^2-8x+10
-
(3)
x^2+4x-7
指針
x の係数の半分を用いて平方をつくる。
模範解答を見る
(1)
\begin{aligned}x^2+6x+5&=(x+3)^2-9+5\&=(x+3)^2-4\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}x^2-8x+10&=(x-4)^2-16+10\&=(x-4)^2-6\end{aligned}
(3)
\begin{aligned}x^2+4x-7&=(x+2)^2-4-7\&=(x+2)^2-11\end{aligned}
練習 1
平方完成
-
(1)
x^2+10x+3
-
(2)
x^2-2x-5
-
(3)
x^2+12x+20
解答を確認
(1)
(x+5)^2-22
(2)
(x-1)^2-6
(3)
(x+6)^2-16
例題 2
x²の係数が1でない場合
次の問いに答えよ。
-
(1)
2x^2-8x+3
-
(2)
-2x^2-4x+3
-
(3)
3x^2+12x-1
指針
x² の係数をくくってから平方完成する。
模範解答を見る
(1)
\begin{aligned}2x^2-8x+3&=2(x^2-4x)+3\&=2(x-2)^2-5\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}-2x^2-4x+3&=-2(x^2+2x)+3\&=-2(x+1)^2+5\end{aligned}
(3)
\begin{aligned}3x^2+12x-1&=3(x^2+4x)-1\&=3(x+2)^2-13\end{aligned}
練習 2
係数をくくる平方完成
-
(1)
2x^2+4x-3
-
(2)
-3x^2+12x+1
解答を確認
(1)
2(x+1)^2-5
(2)
-3(x-2)^2+13
例題 3
頂点を求める
次の問いに答えよ。
-
(1)
y=x^2-6x+4
-
(2)
y=-2x^2+8x-1
指針
平方完成した式から頂点を読む。
模範解答を見る
(1)
y=(x-3)^2-5\quad\therefore\ \text{頂点 }(3,-5)
(2)
y=-2(x-2)^2+7\quad\therefore\ \text{頂点 }(2,7)
練習 3
頂点
-
(1)
y=x^2+2x-8
-
(2)
y=3x^2-12x+5
解答を確認
(1)
(-1,-9)
(2)
(2,-7)
節末問題
例題の型を意識せず、自分で方針を選んで解く。
-
(1)
x^2-14x+20\text{ を平方完成}
-
(2)
2x^2+12x+1\text{ を平方完成}
-
(3)
y=-x^2-6x+2\text{ の頂点を求めよ}
答えを確認
(1)(x-7)^2-29
(2)2(x+3)^2-17
(3)(-3,11)
解説を見る
(1)
\begin{aligned}x^2-14x+20&=(x-7)^2-49+20\&=(x-7)^2-29\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}2x^2+12x+1&=2(x^2+6x)+1\&=2(x+3)^2-18+1\&=2(x+3)^2-17\end{aligned}
(3)
\begin{aligned}y&=-x^2-6x+2\&=-(x+3)^2+11\end{aligned}\quad\therefore\ \text{頂点 }(-3,11)