第4章図形と計量｜第47節

三角比

直角三角形は大きさが変わっても、角度が同じなら形は同じです。そのとき変わらない「辺の比」を使うと、測りにくい高さや距離を角度から求められます。

基礎｜ 40〜50分｜相似・正弦・余弦・正接・特殊角

まず考えてみよう

大きさが違うのに、同じ数になるのはなぜ？

下の2つの直角三角形は、対応する辺の長さがすべて2倍です。左下の角が等しいとき、3組の辺の比を比べてみましょう。

対応する辺を同じ倍率で伸ばすと角度は変わらず、辺どうしの比も変わりません。

\frac{3}{5} = \frac{6}{10}

\frac{4}{5} = \frac{8}{10}

\frac{3}{4} = \frac{6}{8}

角度が決まると、辺の比が決まる

直角ともう1つの角が等しい2つの三角形は相似です。辺の長さそのものは変わっても、対応する辺の比は一定になります。この一定の比が三角比です。

三角比の定義

最初に斜辺、次に角から見た2辺を決める

斜辺は直角の向かい側。対辺と隣辺は、基準にする角によって決まります。

以下では、対辺の長さを $a$ 、隣辺の長さを $b$ 、斜辺の長さを $c$ とします。

正弦

\sin θ = \frac{a}{c}

角の向かい側を斜辺で割る。

余弦

\cos θ = \frac{b}{c}

角に接する直角辺を斜辺で割る。

正接

\tan θ = \frac{a}{b}

角の向かい側を、角に接する直角辺で割る。

見分ける順序

①直角の向かいが斜辺　②角の向かいが対辺　③残りが隣辺

斜辺だけは、基準にする角を変えても同じ辺です。

例題1

3辺が分かるときの三角比

例題1辺の長さが3、4、5の直角三角形で、左下の角を $θ$ とします。3つの三角比を求めましょう。

斜辺は5、対辺は3、隣辺は4です。式を書く前に、図の上で3辺の役割を確定します。

\sin θ = \frac{3}{5}

\cos θ = \frac{4}{5}

\tan θ = \frac{3}{4}

例題2

角を変えると、対辺と隣辺が入れ替わる

同じ三角形でも、基準の角が変われば「向かい側」と「接する直角辺」が入れ替わります。

左下の角が基準

\sin θ = \frac{3}{5}, \cos θ = \frac{4}{5}

右上の角が基準

\sin θ = \frac{4}{5}, \cos θ = \frac{3}{5}

よくある誤り：図の縦をいつも対辺、横をいつも隣辺とは決められません。必ず角

θ

を見て判断します。

特殊角

30°・45°・60°は図から作り直せる

値をばらばらに暗記するより、正方形を対角線で分けた三角形と、正三角形を半分にした三角形の辺の比を覚える方が安全です。

45°では2本の直角辺が等しく、30°・60°では短辺、長辺、斜辺が一定の比になります。

特殊角の値

角	正弦	余弦	正接
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

例題3

測れない高さを角度から求める

例題3建物から12メートル離れた地点で、屋上を見上げる角が45°でした。目の高さを考えないものとして建物の高さを求めます。

水平距離が隣辺、建物の高さが対辺です。高さと距離を結ぶので正接を使います。

\tan 45 °

=

\frac{h}{12}

1

=

\frac{h}{12}

h

=

12

建物の高さは12メートルです。

使い分け

既知の辺と求めたい辺をつなぐ比を選ぶ

基準の角を囲むどの角から見ているかを最初に固定します。

斜辺・対辺・隣辺を書く図の向きではなく、直角と基準の角で判断します。

2本の辺を含む比を選ぶ斜辺と対辺なら正弦、斜辺と隣辺なら余弦、対辺と隣辺なら正接です。

最後に式を解く比を作ってから未知の長さを求めます。

練習問題

1. 斜辺が13、角 $θ$ の対辺が5、隣辺が12のとき、3つの三角比を求める。

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\sin θ = \frac{5}{13}

\cos θ = \frac{12}{13}

\tan θ = \frac{5}{12}

2. 問1と同じ三角形で、もう一方の鋭角を $θ$ としたときの正弦と余弦を求める。

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\sin θ = \frac{12}{13}

\cos θ = \frac{5}{13}

基準の角が変わったので、対辺と隣辺が入れ替わります。

3. 角 $θ$ の隣辺が8、 $\tan θ = \frac{3}{4}$ のとき、対辺の長さを求める。対辺の長さを $x$ とする。

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\frac{3}{4} = \frac{x}{8} \Rightarrow x = 6

4. 30°の正弦、余弦、正接を求める。

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\sin 30 ° = \frac{1}{2}

\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}

5. 45°の正弦と余弦が等しくなる理由を、辺の比で説明する。

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2本の直角辺が等しく、対辺と隣辺がどちらも斜辺の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になるからです。

6. 辺が6、8、10の直角三角形と、辺が3、4、5の直角三角形で、対応する角の三角比が等しい理由を説明する。

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対応する辺がすべて2倍で2つの三角形は相似です。対応する辺を同じ倍率で伸ばしても、割り算で倍率が消えるためです。

7. 塔から20メートル離れた地点で、頂上を見上げる角が45°だった。目の高さを考えないとき、塔の高さを求める。高さを $h$ とする。

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\tan 45 ° = \frac{h}{20} = 1

20メートル。

8. 同じ角度の直角三角形を3倍に拡大したとき、三角比が変わらない理由を説明する。

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分子と分母の辺がともに3倍になり、比を約分すると元と同じになるからです。

まとめ

三角比は「角度で決まる辺の比」

同じ鋭角をもつ直角三角形は相似なので、対応する辺の比は一定。
斜辺は直角の向かい側。対辺と隣辺は基準の角から見て決める。
正弦は対辺と斜辺、余弦は隣辺と斜辺、正接は対辺と隣辺を結ぶ。
30°・45°・60°の値は、特殊な直角三角形の辺の比から再現できる。