第3章二次関数｜第28節

二次関数の最大・最小

最大・最小は、まずグラフの一番高い点・一番低い点を探す問題だと考えます。公式を覚える前に、どこを見ればよいかを図でつかみましょう。

基礎｜ 30〜40分｜グラフ・頂点・最大値・最小値

まず考えてみよう

y = {(x - 2)}^{2} - 3

のグラフ上で、いちばん低い点はどこでしょうか。

式を見てすぐに答えを出さなくて構いません。まず放物線を思い浮かべます。上に向かって開く $U$ 字型なので、いちばん低いところは頂点です。

$a > 0$ ：頂点で最小

$a < 0$ ：頂点で最大

座標軸・式・頂点を同じ図で対応させると、

a > 0

では最小値、

a < 0

では最大値を頂点で取ることが読み取れます。

最初の原則

最大値・最小値は「高さ」の話

グラフを見る

横軸の $x$ を動かしたとき、点が上下にどう動くかを見ます。

一番高い／低い点を探す

その点の $y$ 座標が最大値・最小値です。

そのときの $x$ も確認

「 $x = p$ のとき」とセットで答えます。

頂点を暗記するのではなく、形から読む

下に凸なら頂点より低い点はありません。上に凸なら頂点より高い点はありません。これが最大・最小の出発点です。

式とつなぐ

平方完成すると、グラフの一番高い／低い位置が読める

y = a {(x - p)}^{2} + q

${(x - p)}^{2}$ は必ず0以上で、 $x = p$ のときだけ0になります。

$a > 0$ ：下に凸

頂点がいちばん低い。

$x = p$ のとき最小値 $q$

$a < 0$ ：上に凸

頂点がいちばん高い。

$x = p$ のとき最大値 $q$

定義域が実数全体なら、下に凸のグラフは上へいくらでも伸びるので最大値はなく、上に凸なら最小値はありません。

一般形から

平方完成は「頂点を見える形にする」ため

y = x^{2} - 4 x + 7

y

=

{(x - 2)}^{2} + 3

この形なら、グラフの一番低い点が $(2, 3)$ だと読めます。

$x = 2$ のとき最小値3。

例題

まず形を見て、そのあと計算する

例題1 $y = 2 x^{2} - 8 x + 1$

係数が正なので下に凸です。つまり探すのは「一番低い頂点」です。

y

=

2 {(x - 2)}^{2} - 7

$x = 2$ のとき最小値 $- 7$ 。最大値はありません。

例題2 $y = - x^{2} - 6 x + 4$

係数が負なので上に凸です。今度は「一番高い頂点」を探します。

y

=

- {(x + 3)}^{2} + 13

$x = - 3$ のとき最大値13。最小値はありません。

注意

「頂点 $=$ 最小」と決めつけない

先にグラフの向きを確認する

頂点は必ず極値を与えますが、下に凸なら最小、上に凸なら最大です。名前を暗記するより、グラフの一番高い／低い点として判断してください。

練習問題

1. $y = {(x - 4)}^{2} + 2$ の最小値。

答えを見る

2（ $x = 4$ ）

2. $y = - {(x + 2)}^{2} + 7$ の最大値。

答えを見る

7（ $x = - 2$ ）

3. 下に凸で定義域が実数全体のとき、最大値はあるか。

答えを見る

ありません。

4. 上に凸で定義域が実数全体のとき、最小値はあるか。

答えを見る

ありません。

5. $y = x^{2} + 6 x + 11$ の最小値。

答えを見る

2（ $x = - 3$ ）

6. $y = - x^{2} + 4 x - 1$ の最大値。

答えを見る

3（ $x = 2$ ）

7. 最大値・最小値はグラフの何を表すか。

答えを見る

グラフ上で実際に取る一番高い値・一番低い値。

8. 平方完成する目的を、この節の言葉で答える。

答えを見る

頂点、つまり一番高い／低い位置を読みやすくするため。

まとめ

最大・最小は、まずグラフの高さを見る

最大値はグラフが実際に取る一番高い値、最小値は一番低い値。
下に凸なら頂点が最小、上に凸なら頂点が最大。
平方完成は、頂点を見える形にしてグラフの高さを読むために使う。
次節では、グラフを定義域で「切り取った」ときに何が変わるかを考える。

最大値・最小値は「高さ」の話

平方完成すると、グラフの一番高い／低い位置が読める

平方完成は「頂点を見える形にする」ため

まず形を見て、そのあと計算する

「頂点=最小」と決めつけない

最大・最小は、まずグラフの高さを見る

「頂点 $=$ 最小」と決めつけない