第3章二次関数｜第29節

定義域のある最大・最小

定義域が付いたら、放物線全体を見るのではありません。指定された区間に入っている部分だけを切り取り、その中で一番高い点・低い点を探します。

基礎〜標準｜ 35〜45分｜定義域・頂点・端点

まず考えてみよう

y = {(x - 2)}^{2}

の頂点は

x = 2

です。では、定義域が

4 \leq x \leq 7

なら、最小値は頂点で取れるでしょうか。

取れません。頂点は放物線全体では一番低くても、 $x = 2$ は今回の定義域に入っていないからです。まず使ってよいグラフだけを切り取ることが必要です。

図でつかむ

同じ放物線でも、切り取る場所で答えが変わる

① 頂点を含む

② 頂点の左だけ

③ 頂点の右だけ

灰色の破線は放物線全体、青い実線は定義域に入る部分です。同じ

y = {(x - 2)}^{2}

でも、頂点を含むかどうかで最小値を取る場所が変わります。

解き方

候補を覚えるより「切り取って見る」

1. 放物線を描く

平方完成して、向き・軸・頂点を確認します。

2. 定義域で切り取る

指定された区間に入る部分だけを頭の中で太くします。

3. 一番上・下を読む

太線の中の最高点・最低点の $y$ を求めます。

閉区間では結果として、候補は「定義域内の頂点」と「左右の端点」になります。ただし、これは最初に暗記する公式ではなく、切り取ったグラフを見た結果です。

具体例

一枚のグラフを切り取って読む

$y = {(x - 2)}^{2} - 1$ 、 $- 1 \leq x \leq 4$ 。

頂点 $(2, - 1)$ は区間に入っています。したがって最小値は頂点です。最大値は、切り取った太線の左右を見て、より高い左端 $x = - 1$ で取ります。

最小値 $- 1$ 、最大値8。

頂点が外なら

区間内のグラフは片側だけになる

同じ関数で $4 \leq x \leq 7$ なら、切り取られるのは頂点の右だけだけです。右へ行くほど高くなるので、左端が最小、右端が最大です。

左端

$x = 4$

最小値3

右端

$x = 7$

最大値24

例題

図を言葉にしてから計算する

例題1 $y = x^{2} - 4 x + 5, 0 \leq x \leq 5$

$y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 。頂点は区間内です。まず「最小は頂点」と読めます。最大は左右端を見比べます。

$y (0) = 5$ 、 $y (5) = 10$ 。

最小値1（ $x = 2$ ）、最大値10（ $x = 5$ ）。

例題2 $y = - x^{2} + 2 x + 3, 2 \leq x \leq 4$

$y = - {(x - 1)}^{2} + 4$ 。頂点は区間の左外なので、切り取られるのは頂点の右だけだけです。右へ進むほど低くなります。

最大値3（ $x = 2$ ）、最小値 $- 5$ （ $x = 4$ ）。

注意

端点を含まない区間は最後に考える

最大・最小は「実際に取る値」

$y = x^{2}, 0 < x \leq 2$ では、0へいくらでも近づけますが $x = 0$ は使えません。したがって最小値0ではなく、最小値は存在しません。

これは基本の「切り取ったグラフだけを見る」が理解できたあとに押さえれば十分です。

練習問題

1. $y = x^{2}, - 1 \leq x \leq 2$ の最小値。

答えを見る

0（ $x = 0$ ）。

2. 前問の最大値。

答えを見る

4（ $x = 2$ ）。

3. $y = {(x - 3)}^{2}, 0 \leq x \leq 2$ の最小値。

答えを見る

1（ $x = 2$ ）。

4. 前問の最大値。

答えを見る

9（ $x = 0$ ）。

5. 閉区間で最大・最小の候補になる場所を答える。

答えを見る

区間内にある頂点と、左右の端点。

6. 頂点が区間の右外にある下に凸の放物線では、最小値はどちらの端点で取りやすいか。

答えを見る

右端。

7. $y = x^{2}, 0 < x \leq 2$ に最小値はあるか。

答えを見る

ありません。

8. 定義域が付いたとき最初にすることを一言で答える。

答えを見る

放物線を定義域で切り取り、使える部分だけを見る。

まとめ

定義域は「グラフを切り取る」

放物線全体ではなく、定義域に入る部分だけを見る。
切り取った部分の一番高い点・低い点が最大・最小。
閉区間では結果として、区間内の頂点と両端点が候補になる。
文字を含む問題でも、この考え方自体は変わらない。