第3章二次関数｜第38節

判別式と文字定数

判別式は解の個数を判定するだけでなく、文字定数の範囲を決める道具になります。「異なる2解」「重解」「実数解なし」を不等式へ翻訳します。

標準｜ 35〜45分｜判別式・文字定数・範囲

まず考えてみよう

x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0

が異なる2つの実数解をもつ

a

の範囲を求めます。

\begin{array}{l} D = 4 a^{2} - 4 (a + 2) \\ = 4 (a - 2) (a + 1) \end{array}

異なる2実数解なので $D > 0$ 。したがって $a < - 1$ または $a > 2$ です。

符号表で確認

境界を求めてから、数直線で判別式の符号を読む

D = 4 (a - 2) (a + 1)

。境界

a = - 1, 2

で重解になります。

翻訳表

解の個数を判別式の符号へ

異なる2実数解

$D > 0$

重解

$D = 0$

実数解なし

$D < 0$

文字が二次の係数に入る場合

最初に二次方程式である条件を確認します。 $x^{2}$ の係数が0になる値では、判別式の議論をそのまま使えません。

例題

判別式を文字定数の不等式として解く

例題1 $x^{2} + (a - 1) x + a + 2 = 0$ が実数解をもたない条件。

\begin{array}{l} D = {(a - 1)}^{2} - 4 (a + 2) \\ = (a - 7) (a + 1) \end{array}

$D < 0$ より

$- 1 < a < 7$

例題2 $x^{2} - 4 x + k = 0$ が重解をもつ条件。

$D = 16 - 4 k = 0$ 。

$k = 4$

よくある誤解

「実数解をもつ」は

D \geq 0

重解も実数解です。「異なる2つ」と書かれているときだけ $D > 0$ にします。

練習問題

1. 異なる2実数解の判別式条件。

答えを見る

$D > 0$

2. 重解の条件。

答えを見る

$D = 0$

3. 実数解をもつ条件。

答えを見る

$D \geq 0$

4. $x^{2} + 2 x + k = 0$ が重解をもつ $k$ 。

答えを見る

$k = 1$

5. 前問が異なる2実数解をもつ条件。

答えを見る

$k < 1$

6. 前問が実数解をもたない条件。

答えを見る

$k > 1$

7. $a x^{2} + x + 1 = 0$ に判別式を使う前に確認する条件。

答えを見る

$a \neq 0$

8. $x^{2} - 2 a x + a^{2} = 0$ の解の個数。

答えを見る

常に重解1つ。

まとめ

文章条件を $D$ の符号へ翻訳する

異なる2解は $D > 0$ 、重解は $D = 0$ 。
実数解なしは $D < 0$ 、実数解ありは $D \geq 0$ 。
二次の係数に文字があるときは0にならない条件を先に確認する。

境界を求めてから、数直線で判別式の符号を読む

解の個数を判別式の符号へ

判別式を文字定数の不等式として解く

文章条件をDの符号へ翻訳する

文章条件を $D$ の符号へ翻訳する