第3章二次関数｜第35節

最大値・最小値から条件を逆算する

これまでは式から最大値・最小値を求めました。今度は値が先に与えられます。どの点で極値を取るのかを決めてから、文字定数の条件へ戻します。

標準｜ 35〜45分｜逆問題・文字定数・場合分け

まず考えてみよう

y = x^{2} - 4 x + k

の最小値が3です。

k

はいくつでしょうか。

y = {(x - 2)}^{2} + k - 4

定義域が実数全体なら最小値は頂点の $k - 4$ です。したがって $k - 4 = 3$ より $k = 7$ です。

基本方針

「どこで取るか」を先に決める

1. 平方完成

軸・頂点を出す。

2. 極値を取る点を判定

頂点か端点かを決める。

3. 与えられた値と等置

文字定数の方程式・不等式を解く。

定義域があるときは場合分けを飛ばさない

「最小値だから頂点」とは限りません。頂点が定義域外なら端点が最小になります。

図で場合分け

同じ定義域で、軸の位置だけを比べる

軸が左：左端で最小

a = - 1

：条件に合う

軸が中：頂点で最小目標の1にならない

軸が右：右端で最小

a = 5

：条件に合う

淡い帯は定義域

0 \leq x \leq 4

、橙の破線は目標の高さ

y = 1

です。青い実線上の一番低い点がその高さに一致するのは、軸が区間の外にある左右2場合です。

例題

逆算でも平方完成が中心

例題1 $y = - x^{2} + 2 a x + 1$ の最大値が10。 $a$ を求める。

$y = - {(x - a)}^{2} + a^{2} + 1$ 。

a^{2} + 1 = 10

$a = \pm 3$

例題2 $y = {(x - a)}^{2}$ 、 $0 \leq x \leq 4$ の最小値が1。 $a$ を求める。

軸が区間内なら最小値0なので除外。軸が左なら $x = 0$ 、右なら $x = 4$ で最小です。

$a < 0$ では $a^{2} = 1$ より $a = - 1$ 。 $a > 4$ では ${(4 - a)}^{2} = 1$ より $a = 5$ 。

$a = - 1, 5$

条件の検算

解いた後に、使った場合の条件へ戻す

場合分けした逆問題では、方程式から出た解がその場合の条件を満たすか必ず確認します。例題2で $a = 1$ が式だけから出ても、軸が左という条件に反するなら採用できません。

よくある誤解

極値の値だけを式に代入しない

最大値・最小値は「どの $x$ で取るか」とセットです。頂点・端点・場合分けの条件を確定させてから等式を作ります。

練習問題

1. $y = {(x - 3)}^{2} + k$ の最小値が5。

答えを見る

$k = 5$

2. $y = - {(x - 1)}^{2} + k$ の最大値が7。

答えを見る

$k = 7$

3. $y = x^{2} + 2 a x$ の最小値が $- 9$ 。

答えを見る

$a = \pm 3$

4. $y = - x^{2} + 4 x + k$ の最大値が6。

答えを見る

$k = 2$

5. 逆問題で最初に確認することは何か。

答えを見る

極値を取る点が頂点か端点か。

6. 軸が定義域内にある下に凸の二次関数の最小値はどこで取るか。

答えを見る

頂点。

7. 場合分けから得た解に最後に必要な確認。

答えを見る

その場合の条件を満たしているか。

8. $y = {(x - a)}^{2}$ の最小値が実数全体で2になり得るか。

答えを見る

なりません。最小値は常に0。

まとめ

逆算は「極値を取る場所」から戻る

平方完成して頂点を明確にする。
定義域があれば、頂点か端点かを先に判定する。
与えられた最大値・最小値と関数値を等置し、場合の条件で検算する。