第3章二次関数｜第33節

文字を含む最大・最小①―軸が動く

文字が入ると難しく見えますが、やっていることは第29節と同じです。定義域は固定したまま、放物線の軸を左から右へ動かして、切り取られた部分の一番低い／高い点を見るだけです。

標準｜ 45〜55分｜文字定数・場合分け・軸

まず考えてみよう

g_{a} (x) = {(x - a)}^{2}

を

0 \leq x \leq 4

で考えます。

a

を小さい値から大きい値へ変えると、最小値を取る場所はどう動くでしょうか。

この段階では値そのものを計算しません。 $g_{a} (x)$ は形も高さも同じ放物線が横へ動くだけなので、軸 $x = a$ と固定区間の位置関係だけに集中できます。

最小値を図でつかむ

軸が「左・中・右」のどこにあるかだけを見る

軸が左：左端で最小

軸が中：頂点で最小

軸が右：右端で最小

淡い帯は固定した定義域

0 \leq x \leq 4

、青い実線は実際に使うグラフです。軸

x = a

が区間の左・中・右へ動くと、最小を取る点が左端・頂点・右端へ移ります。

ここで初めて場合分けを書く

図から境界は、軸 $x = a$ が左端0と右端4を通るときだと分かります。

元の関数へ戻す

縦にずれても、最大・最小を取る $x$ は変わらない

実際に扱いたい関数を

f (x) = x^{2} - 2 a x + 3 = {(x - a)}^{2} + 3 - a^{2}

とします。これは先ほどの $g_{a} (x)$ を上下にずらしただけです。したがって、最小値・最大値を取る $x$ の場所は3枚の図のままで、最後に $f$ へ代入して値を求めればよいことになります。

最小値を式にする

図の3状態をそのまま不等式へ翻訳する

$a \leq 0$

軸が区間の左。左端が軸に最も近い。

$f (0) = 3$

$0 \leq a \leq 4$

軸が区間内。頂点が使える。

$3 - a^{2}$

$a \geq 4$

軸が区間の右。右端が軸に最も近い。

$f (4) = 19 - 8 a$

最大値は別に考える

下に凸なら、最大は左右どちらかの端点

最小値の場合分けと混ぜないでください。下に凸の放物線を区間で切り取ると、最も高い場所は左右の端のどちらかです。

f (0) = 3, f (4) = 19 - 8 a

どちらが高いかが入れ替わるのは、両端の高さが等しいときです。

3

=

19 - 8 a

境界は $a = 2$ 。これは区間 $[0, 4]$ の中央です。

$a < 2$

右端の方が軸から遠い。

最大値 $19 - 8 a$

$a > 2$

左端の方が軸から遠い。

最大値3

$a = 2$ では両端で同じ最大値3を取ります。

例題

「図の状態 → 条件」の順で解く

例題1 $y = {(x - a)}^{2}, 0 \leq x \leq 2$ の最小値。

軸は $x = a$ 。左端0、右端2を通るときが境界です。

$a \leq 0 : a^{2}; 0 \leq a \leq 2 : 0; a \geq 2 : {(2 - a)}^{2}$

例題2 $y = x^{2} - 2 a x, - 1 \leq x \leq 3$ の最小値。

軸は $x = a$ 。軸が左端 $- 1$ 、右端3を通るときに状態が変わります。

$a \leq - 1 : 1 + 2 a; - 1 \leq a \leq 3 : - a^{2}; a \geq 3 : 9 - 6 a$

よくある誤解

最初に境界の数値を探さない

「 $a = 0$ で場合分け」と覚えるのではありません。軸が左端を通る、区間内を動く、右端を通るという図の変化を先に見て、その位置を式へ翻訳します。

最小値と最大値は別の問い

最小値は軸が区間のどこにあるか、最大値はどちらの端点が軸から遠いかを見ます。一度に両方を考えない方が整理しやすくなります。

練習問題

1. 軸 $x = a$ が $0 \leq x \leq 4$ 内にある条件。

答えを見る

$0 \leq a \leq 4$

2. 軸が同区間の左側にある条件。

答えを見る

$a < 0$

3. 軸が同区間の右側にある条件。

答えを見る

$a > 4$

4. 下に凸で軸が区間内なら、最小値を取る場所。

答えを見る

頂点。

5. 下に凸で軸が区間より左なら、最小値を取る場所。

答えを見る

左端。

6. 区間 $[- 2, 6]$ で、左右端から等距離になる軸の位置。

答えを見る

$x = 2$

7. 下に凸の放物線で最大値候補になる場所。

答えを見る

定義域の左右の端点。

8. 場合分けの境界を決める前に描くべきもの。

答えを見る

軸と定義域の位置関係が分かるグラフ。

まとめ

軸を動かし、状態が変わる瞬間を見つける

まず $g_{a} (x) = {(x - a)}^{2}$ で、軸と固定区間の位置関係を見る。
最小値は「軸が左・中・右」の3図から読む。
上下の平行移動は最大・最小を取る $x$ を変えない。
最大値は左右端を比べ、両端が同じ高さになるときを境界にする。
場合分けの不等式は、図で見つけた位置関係を最後に式へ翻訳したもの。

軸が「左・中・右」のどこにあるかだけを見る

縦にずれても、最大・最小を取るxは変わらない

図の3状態をそのまま不等式へ翻訳する

下に凸なら、最大は左右どちらかの端点

「図の状態 → 条件」の順で解く

軸を動かし、状態が変わる瞬間を見つける

縦にずれても、最大・最小を取る $x$ は変わらない