第3章二次関数｜第34節

文字を含む最大・最小②―定義域が動く

今度は放物線を固定し、定義域の区間を横へ動かします。式の不等式を先に作るのではなく、区間が頂点の左・頂点を含む位置・右へ移る3枚の図から場合分けを作ります。

標準｜ 45〜55分｜動く区間・頂点・端点

まず考えてみよう

y = x^{2}

を、幅2の区間

a \leq x \leq a + 2

で考えます。

a

を小さい値から大きい値へ動かすと、最小値を取る場所はどう変わるでしょうか。

放物線 $y = x^{2}$ は動きません。動くのは、グラフのどこを使ってよいかを決める横幅2の窓です。

区間を動かして見る

「左・頂点を含む・右」の3状態

区間が左：右端で最小

頂点を含む：頂点で最小

区間が右：左端で最小

淡い帯が動く定義域

a \leq x \leq a + 2

、青い実線がその区間で使うグラフです。固定した頂点0との位置関係から、最小を取る点を直接読めます。

最小値を式にする

頂点0を区間が通り過ぎる瞬間が境界

区間は $[a, a + 2]$ です。

$a + 2 \leq 0$

区間全体が0の左。0に近い右端で最小。

${(a + 2)}^{2}$

$a \leq 0 \leq a + 2$

頂点0を区間が含む。

$a \geq 0$

区間全体が0の右。0に近い左端で最小。

$a^{2}$

整理すると、境界は $a = - 2$ と $a = 0$ です。これは暗記ではなく、区間の右端・左端が頂点0を通るときです。

最大値は端点を見る

幅が固定なら「区間の中央」が頂点を通るときに入れ替わる

下に凸なので、最大値は左右端のどちらかです。

a^{2}, {(a + 2)}^{2}

両端の高さが等しいのは、頂点0から左右端までの距離が等しいときです。つまり区間の中央 $a + 1$ が0になるとき。

境界は $a = - 1$ 。

$a < - 1$

左端の方が0から遠い。

最大値 $a^{2}$

$a > - 1$

右端の方が0から遠い。

最大値 ${(a + 2)}^{2}$

$a = - 1$ では左右の端点 $x = - 1$ と $x = 1$ で同じ最大値1を取ります。

区間が広がる場合

右端だけが動く場合も、見るものは同じ

$y = {(x - 1)}^{2}$ を $0 \leq x \leq a$ 、 $a \geq 0$ で考えます。

右端 $a$ が頂点1に届くまでは右端が最小。1を越えると頂点が使えるので最小値0です。

$0 \leq a \leq 1$

${(a - 1)}^{2}$

$a \geq 1$

最大値は左端0と右端 $a$ を比較し、両端が同じ高さになる $a = 2$ が境界になります。

例題

「何が動いているか」を最初に言葉にする

例題1 $y = x^{2}, a \leq x \leq a + 4$ の最小値。

放物線は固定、幅4の区間が動きます。区間が0を含む条件は $a \leq 0 \leq a + 4$ です。

$a \leq - 4 : {(a + 4)}^{2}; - 4 \leq a \leq 0 : 0; a \geq 0 : a^{2}$

例題2 $y = {(x - 3)}^{2}, a \leq x \leq a + 1$ が頂点を含む条件。

頂点の $x$ 座標3が区間に入ればよいので、

$a \leq 3 \leq a + 1$

$2 \leq a \leq 3$

よくある誤解

式の左右端を眺めるだけでは動きが見えない

$a \leq x \leq a + 2$ を見たら、まず「幅2の区間が横へ動く」と言葉にしてください。図が先、場合分けの式は後です。

頂点を含む条件と、端点が入れ替わる条件は別

最小値側では頂点を含むかが重要です。最大値側では左右端の高さが等しくなる位置が重要です。一度に混ぜないでください。

練習問題

1. $a \leq x \leq a + 2$ が0を含む条件。

答えを見る

$- 2 \leq a \leq 0$

2. 前問の区間の中央。

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$a + 1$

3. 区間全体が0より左にある条件。

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$a + 2 < 0$

4. 区間全体が0より右にある条件。

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$a > 0$

5. $a = 2$ のとき $y = x^{2}, a \leq x \leq a + 2$ の最小値。

答えを見る

4。

6. 同条件の最大値。

答えを見る

16。

7. 区間 $[a, a + 4]$ の中央。

答えを見る

$a + 2$

8. 動く区間の問題で最初に言葉にすること。

答えを見る

放物線は固定で、どの幅の区間がどちらへ動くのか。

まとめ

区間を動かしてから、式へ翻訳する

放物線を固定し、定義域を「動く窓」として描く。
最小値は区間が頂点の左・頂点を含む・右の3状態を見る。
最大値は左右端を比べ、区間の中央が頂点を通るときが境界になる。
不等式の場合分けは、図で見つけた状態の境界を最後に式で書いたもの。