第3章二次関数｜第40節

放物線と直線の共有点

共有点では放物線と直線の $y$ の値が同じです。2つの式を等しくして二次方程式を作れば、座標も交点の個数も調べられます。

標準｜ 35〜45分｜連立・共有点・判別式・接線

まず考えてみよう

y = x^{2}

と

y = 2 x + 3

の共有点を求めます。

x^{2} = 2 x + 3 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0

$(x + 1) (x - 3) = 0$ より $x = - 1, 3$ 。それぞれ直線へ代入して共有点は $(- 1, 1)$ 、 $(3, 9)$ です。

交点の個数

連立してできる二次方程式の判別式を見る

$y = x^{2} - 2 x + 3$ と $y = 2 x + k$ なら

x^{2} - 4 x + 3 - k = 0

D = 16 - 4 (3 - k) = 4 (k + 1)

$k > - 1$ なら2点、 $k = - 1$ なら接し、 $k < - 1$ なら共有点をもちません。

図で確認

判別式の3状態は図の3状態

$k = 0 ： D = 4 > 0$

$k = - 1 ： D = 0$

$k = - 2 ： D = - 4 < 0$

連立すると

x^{2} - 4 x + 3 - k = 0

、

D = 4 (k + 1)

。直線を平行移動すると、2交点・接する・共有点なしが連続して現れます。

例題

共有点の座標と個数を求める

例題1 $y = x^{2} + 1$ と $y = 3 x - 1$ の共有点の $x$ 座標。

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 。

$x = 1, 2$

例題2 $y = x^{2} + k$ と $y = 2 x$ が接する $k$ 。

$x^{2} - 2 x + k = 0$ の $D = 4 - 4 k$ を0とします。

$k = 1$

よくある誤解

解いた

x

だけでは共有点の座標は完成しません

座標を求める問題では、最後にどちらかの式へ代入して $y$ 座標も出します。

練習問題

1. 共有点で2つの式の何が等しいか。

答えを見る

$y$ の値。

2. 2点で交わる判別式条件。

答えを見る

$D > 0$

3. 接する判別式条件。

答えを見る

$D = 0$

4. 共有点なしの判別式条件。

答えを見る

$D < 0$

5. $y = x^{2}$ と $y = 4$ の共有点の $x$ 座標。

答えを見る

$x = \pm 2$

6. 前問の共有点。

答えを見る

$(- 2, 4), (2, 4)$

7. $y = x^{2} + 2$ と $y = 2 x$ の共有点の個数。

答えを見る

0個。

8. 接する場合、連立して得る二次方程式の解は何か。

答えを見る

重解。

まとめ

共有点は連立して二次方程式へ

2つの $y$ を等しくして $x$ の二次方程式を作る。
座標を求めるなら $x$ を元の式へ戻して $y$ を求める。
交点の個数は判別式の符号と一致する。