文字を含む二次不等式・解の位置

公式を当てる前に、左の根と右の根を確定する

条件を一つずつ加え、根の位置を確定する

ここからは、不等式の解の範囲ではなく、二次方程式$f\left(x\right)=0$の根の位置を考えます。$y=f\left(x\right)$のグラフが下に凸の場合を扱います。

まず $D>0$ で異なる2実数解を確保します。次の3つは、すべてこの条件を満たす具体例です。ここから軸の$x$座標が0より大きい、$f\left(0\right)>0$の順に条件を加えます。

2つの根を0より右に置く

二次係数が正の二次方程式$f\left(x\right)=0$が異なる2つの正の実数解をもつ条件を考えます。$D>0$で異なる2根を確保し、軸の$x$座標が正であることと、$f\left(0\right)>0$を確認します。軸が0より右にあり、0が2根の外側にあれば、2つの根はともに0より右にあります。

位置条件を不等式へ翻訳する

両端で上、頂点で下

下に凸の放物線が区間$p<x<q$の中で$x$軸と2回交わるには、次の3点を確認します。

• $D>0$：異なる2根をもち、頂点が$x$軸より下にあります。
• 軸の$x$座標が区間内：2根の中点にあたる軸を、両端の間に置きます。
• $f\left(p\right)>0$、$f\left(q\right)>0$：両端は2根の外側にあります。軸が両端の間にあるため、$p$は左の根より左、$q$は右の根より右になります。

この3点がそろうと、2根はどちらも区間の内側に入ります。端点を根に含めないので、両端での不等号は厳密な正です。