第3章二次関数｜第42節

二次不等式の標準問題

基本の二次不等式を組み合わせると、連立・すべての実数で成立・整数解の個数といった典型問題になります。どれもグラフの符号と解集合を丁寧に読むことが中心です。

標準｜ 40〜50分｜連立・恒真条件・整数解

まず考えてみよう

次の2条件を同時に満たす

x

を求めます。

x^{2} - 5 x + 4 < 0, x^{2} - 3 x + 2 \geq 0

1つ目は $1 < x < 4$ 、2つ目は $x \leq 1$ または $x \geq 2$ 。共通部分を取ると $2 \leq x < 4$ です。

連立二次不等式

それぞれ解いて、最後に共通部分

連立不等式は「両方を満たす」という意味です。各不等式の解を数直線で表し、重なる部分だけを残します。

同じ数の目盛りは、各段で同じ横位置にそろえます。2は両方の範囲に含まれ、4は①に含まれないので、共通部分の端点は「2が●、4が○」になります。

端点の○●を最後まで保持する

$<$ ・ $>$ は端点を含まず、 $\leq$ ・ $\geq$ は含みます。共通部分で端点が残るかを確認します。

すべての実数で成立

グラフ全体が $x$ 軸の上にある条件

$x^{2} + 2 a x + a + 2 > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件を考えます。二次係数は正なので、放物線全体が $x$ 軸より上にあればよい。

D = 4 a^{2} - 4 (a + 2) = 4 (a - 2) (a + 1)

厳密に正なので $x$ 軸と共有点をもたない条件 $D < 0$ を使います。

したがって $(a - 2) (a + 1) < 0$ 。境界 $- 1, 2$ の間で積が負になるので、

$- 1 < a < 2$

平方完成して最小値から考えることもできます。

y = {(x + a)}^{2} + a + 2 - a^{2}

すべての実数で正となる条件は、最小値が正、つまり $a + 2 - a^{2} > 0$ です。

この例では最小値が2なので、グラフ全体が

x

軸より上にあります。頂点の高さが正なら、そのほかの点の高さも正です。

整数解

実数の範囲から整数解を選ぶ

$x^{2} - 5 x + 4 < 0$ なら $1 < x < 4$ 。この中の整数は $2, 3$ です。

実数の解は連続した区間ですが、整数解は点の集まりです。端点の1と4は含まず、その間にある整数2と3だけが残ります。

最初から整数だけ試さない

まず不等式を実数範囲で正しく解き、その後に整数条件を重ねる方が漏れません。

例題

条件の言葉をグラフ条件へ翻訳する

例題1整数解の個数を求める

x^{2} - 4 x + 3 \leq 0

因数分解すると、 $(x - 1) (x - 3) \leq 0$ 。

実数の解は $1 \leq x \leq 3$ 。

この範囲の整数は $1, 2, 3$ 。

3個。

例題2すべての実数で正になる条件

$x^{2} + k > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ $k$ の条件を求めます。

$x^{2} \geq 0$ であり、 $x = 0$ のとき0になるので、左辺の最小値は $k$ です。

$k > 0$

よくある誤解

\geq

なら接してもよい

$f (x) \geq 0$ がすべての実数で成り立つ場合、 $x$ 軸に接する $D = 0$ も含みます。したがって下に凸なら $D \leq 0$ です。

練習問題

1. 連立不等式では最後に何を取るか。

答えを見る

解集合の共通部分。

2. $(x - 1) (x - 4) < 0$ 。

答えを見る

$1 < x < 4$

3. 前問の整数解。

答えを見る

$2, 3$

4. 下に凸で $f (x) > 0$ がすべての実数で成立する判別式条件。

答えを見る

$D < 0$

5. 下に凸で $f (x) \geq 0$ がすべての実数で成立する判別式条件。

答えを見る

$D \leq 0$

6. $x^{2} + 1 > 0$ はすべての実数で成立するか。

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成立します。

7. $x^{2} - 1 \geq 0$ の整数解を1つ挙げる。

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例： $x = 1$ 。

8. すべての実数で正となる条件を下に凸の場合に、負となる条件を上に凸の場合に、それぞれ最大・最小で表せ。

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下に凸では最小値が0より大きいこと。上に凸では最大値が0より小さいこと。

まとめ

標準問題は解集合とグラフ全体を見る

連立は各不等式を解いて共通部分を取る。
すべての実数で成立する条件は、放物線全体が $x$ 軸のどちら側にあるかを見る。
整数条件は実数解を求めた後に重ねる。

それぞれ解いて、最後に共通部分

グラフ全体がx軸の上にある条件

実数の範囲から整数解を選ぶ

条件の言葉をグラフ条件へ翻訳する

標準問題は解集合とグラフ全体を見る

グラフ全体が $x$ 軸の上にある条件