要点
- 多項式は項の和として見る。
- 文字と指数が同じ項を同類項という。
- 同類項は係数だけを足し引きできる。
- 多項式は降べきの順に整理する。
解説
高校数学では、複雑な式をいきなり計算するより、まず「何項あるか」「同じ種類の項はどれか」を見分ける方が基本事項です。
1. 式を「項」に分ける
たとえば 3x² − 5x + 7 は、加法・減法で区切ると3つの項からできています。
項3x²、−5x、7
係数3x² の係数は 3、−5x の係数は −5
次数3x² は2次、−5x は1次、7は0次
多項式の次数最も高い次数。ここでは2次
同類項文字の部分が同じ項。たとえば 3x² と −7x² は同類項なので、係数だけを足し引きできます。
2. 同類項をまとめる
具体例
同じ種類の項だけを集めて計算します。
混ぜてはいけない3x² と 2x は同類項ではありません。x² と x は別の種類の項です。
3. 降べきの順に並べる
多項式は、次数の高い項から並べると構造が見やすくなります。これは後の因数分解や二次関数でも役立ちます。
例題・練習
例題で解法を確認し、続く練習問題で同じ型を解く。
例題 1
同類項をまとめる
次の問いに答えよ。
-
(1)
3x^2+5x-2x^2-8x+6
-
(2)
4a^2b-7ab^2+3a^2b+2ab^2
指針
文字と指数が一致する項だけを集める。次数の違う項はまとめない。
模範解答を見る
(1)
\begin{aligned}3x^2+5x-2x^2-8x+6&=(3x^2-2x^2)+(5x-8x)+6\&=x^2-3x+6\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}4a^2b-7ab^2+3a^2b+2ab^2&=(4+3)a^2b+(-7+2)ab^2\&=7a^2b-5ab^2\end{aligned}
練習 1
同類項の整理
-
(1)
5x^2-2x+3x^2+7x-4
-
(2)
6a^2b-3ab^2-a^2b+8ab^2
解答を確認
(1)
8x^2+5x-4
(2)
5a^2b+5ab^2
例題 2
次数と係数
次の問いに答えよ。
-
(1)
5x^3-2x^2+x-7
-
(2)
4a^2b^3
指針
一変数多項式では最も大きい指数を見る。単項式では各文字の指数の和が次数。
模範解答を見る
(1)
\text{次数 }3,\quad x^3\text{ の係数 }5
(2)
\text{次数 }2+3=5
練習 2
次数を判断する
-
(1)
7x^4-3x^2+1
-
(2)
2a^3b^2c
解答を確認
(1)
4
(2)
6
節末問題
例題の型を意識せず、自分で方針を選んで解く。
-
(1)
2x^2-7x+5+6x^2+x-3
-
(2)
3a^2b-4ab^2+5a^2b-ab^2
-
(3)
6x^5-2x+1\text{ の次数を求めよ}
答えを確認
(1)8x^2-6x+2
(2)8a^2b-5ab^2
(3)5
解説を見る
(1)
\begin{aligned}2x^2-7x+5+6x^2+x-3&=(2x^2+6x^2)+(-7x+x)+(5-3)\&=8x^2-6x+2\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}3a^2b-4ab^2+5a^2b-ab^2&=(3+5)a^2b+(-4-1)ab^2\&=8a^2b-5ab^2\end{aligned}
(3)
6x^5-2x+1\text{ の最高次数の項は }6x^5\text{。したがって次数は }5.