要点
- 因数分解は展開の逆。
- 最初に共通因数を探す。
- x^2+bx+c 型では、和が b、積が c になる2数を探す。
解説
因数分解は、展開を逆向きにたどる操作です。「何を掛けたらこの式になるか」を考えます。
1. まず共通因数を探す
具体例
すべての項に共通する \(3x\) を先にくくります。
いきなり公式を見る前に、すべての項に共通する数や文字がないか確認します。
2. x² + (和)x + (積) の形
x² + 5x + 6 なら、「和が5、積が6」になる2数を探します。
積と和を同時に満たす組
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
3. 展開公式を逆向きに使う
4. 因数分解の順番
共通因数があれば、最初にくくる。
平方の形・平方差の形になっていないか見る。
x² + bx + c 型なら、和と積から2数を探す。
最後に展開して元へ戻るか確認する。
例題・練習
例題で解法を確認し、続く練習問題で同じ型を解く。
例題 1
共通因数でくくる
次の問いに答えよ。
-
(1)
6x^2+9x
-
(2)
12a^2b-8ab^2
-
(3)
5x^3-10x^2+15x
指針
全項に共通する因数を先にくくる。
模範解答を見る
(1)
6x^2+9x=3x(2x+3)
(2)
12a^2b-8ab^2=4ab(3a-2b)
(3)
5x^3-10x^2+15x=5x(x^2-2x+3)
練習 1
共通因数
-
(1)
8x^2-12x
-
(2)
15a^2b+20ab^2
解答を確認
(1)
4x(2x-3)
(2)
5ab(3a+4b)
例題 2
二次式を因数分解する
次の問いに答えよ。
-
(1)
x^2+5x+6
-
(2)
x^2-7x+12
-
(3)
x^2+x-12
指針
和が x の係数、積が定数項になる2数を探す。
模範解答を見る
(1)
x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
(2)
x^2-7x+12=(x-3)(x-4)
(3)
x^2+x-12=(x+4)(x-3)
練習 2
二次式
-
(1)
x^2+8x+15
-
(2)
x^2-9x+20
-
(3)
x^2-2x-15
解答を確認
(1)
(x+3)(x+5)
(2)
(x-4)(x-5)
(3)
(x-5)(x+3)
例題 3
平方差・完全平方
次の問いに答えよ。
-
(1)
x^2-25
-
(2)
x^2+6x+9
-
(3)
4x^2-12x+9
指針
展開公式を逆に用いる。
模範解答を見る
(1)
x^2-25=(x+5)(x-5)
(2)
x^2+6x+9=(x+3)^2
(3)
4x^2-12x+9=(2x-3)^2
練習 3
公式型
-
(1)
9x^2-16
-
(2)
x^2-10x+25
解答を確認
(1)
(3x+4)(3x-4)
(2)
(x-5)^2
節末問題
例題の型を意識せず、自分で方針を選んで解く。
-
(1)
3x^2+12x
-
(2)
x^2+11x+24
-
(3)
4x^2-49
-
(4)
2x^2+10x+12
答えを確認
(1)3x(x+4)
(2)(x+3)(x+8)
(3)(2x+7)(2x-7)
(4)2(x+2)(x+3)
解説を見る
(1)
3x^2+12x=3x(x+4)
(2)
x^2+11x+24=(x+3)(x+8)
(3)
4x^2-49=(2x)^2-7^2=(2x+7)(2x-7)
(4)
\begin{aligned}2x^2+10x+12&=2(x^2+5x+6)\&=2(x+2)(x+3)\end{aligned}