要点
- 実数は有理数と無理数に分かれる。
- \sqrt a は a\ge0 に対する非負の平方根。
- 根号の中の平方数は外へ出せる。
- 分母に根号があるときは有理化する。
解説
高校数学では数の範囲が「実数」まで広がります。根号の計算は、数を分類してから扱うと整理しやすくなります。
1. 数を分類する
実数の中の数の分類
有理数整数 a と 0でない整数 b を使って a/b と表せる数。
無理数分数 a/b の形では表せない実数。√2, π など。
2. √a は「2乗すると a になる正の数」
√9 = 3
√9 = ±3 ではありません。√9 そのものは3です。方程式 x²=9 の解が x=±3 なのとは別です。
3. 根号の中から平方数を出す
具体例
見る場所：根号の中に 4, 9, 16, 25, ... の平方数が隠れていないか。
4. 分母の有理化
具体例
分子と分母に同じ \(\sqrt2\) を掛けています。
分母に根号があるとき、分子・分母に同じ根号を掛けて分母を有理数にします。
例題・練習
例題で解法を確認し、続く練習問題で同じ型を解く。
例題 1
根号を簡単にする
次の問いに答えよ。
-
(1)
\sqrt{12}
-
(2)
\sqrt{48}
-
(3)
\sqrt{75}
指針
根号の中から平方数を取り出す。
模範解答を見る
(1)
\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3
(2)
\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3
(3)
\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3
練習 1
根号の整理
-
(1)
\sqrt{20}
-
(2)
\sqrt{72}
-
(3)
\sqrt{98}
解答を確認
(1)
2\sqrt5
(2)
6\sqrt2
(3)
7\sqrt2
例題 2
根号の加減
次の問いに答えよ。
-
(1)
3\sqrt2+5\sqrt2
-
(2)
\sqrt{18}+\sqrt8
-
(3)
2\sqrt{12}-\sqrt{27}
指針
根号を簡単にしてから同類の根号をまとめる。
模範解答を見る
(1)
3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2
(2)
\sqrt{18}+\sqrt8=3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2
(3)
2\sqrt{12}-\sqrt{27}=4\sqrt3-3\sqrt3=\sqrt3
練習 2
根号の加減
-
(1)
\sqrt{32}-\sqrt8
-
(2)
3\sqrt{27}+2\sqrt{12}
解答を確認
(1)
2\sqrt2
(2)
13\sqrt3
例題 3
分母の有理化
次の問いに答えよ。
-
(1)
\frac1{\sqrt2}
-
(2)
\frac3{\sqrt3}
-
(3)
\frac2{\sqrt5}
指針
分子・分母に同じ根号を掛ける。
模範解答を見る
(1)
\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}
(2)
\frac3{\sqrt3}=\sqrt3
(3)
\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}
練習 3
有理化
-
(1)
\frac5{\sqrt5}
-
(2)
\frac3{2\sqrt3}
解答を確認
(1)
\sqrt5
(2)
\frac{\sqrt3}{2}
節末問題
例題の型を意識せず、自分で方針を選んで解く。
-
(1)
\sqrt{108}
-
(2)
\sqrt{50}+\sqrt8
-
(3)
\frac4{\sqrt6}
-
(4)
\sqrt3(\sqrt{12}-\sqrt3)
答えを確認
(1)6\sqrt3
(2)7\sqrt2
(3)\frac{2\sqrt6}{3}
(4)3
解説を見る
(1)
\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt3
(2)
\sqrt{50}+\sqrt8=5\sqrt2+2\sqrt2=7\sqrt2
(3)
\frac4{\sqrt6}=\frac{4\sqrt6}{6}=\frac{2\sqrt6}{3}
(4)
\sqrt3(\sqrt{12}-\sqrt3)=\sqrt3(2\sqrt3-\sqrt3)=3