要点
- a\in A は「aがAの要素」。
- B\subset A は「BがAの部分集合」。
- A\cap B は共通部分、A\cup B は和集合。
- 補集合は全体集合を決めて考える。
解説
集合は、条件を満たすものを「ひとまとまり」として扱うための言葉です。確率や命題でも繰り返し使います。
1. 集合と要素
集合ある条件を満たすものを、ひとまとまりとして考えたもの。
要素集合に入っている一つ一つのもの。
具体例
3 ∈ A ですが、5 ∉ A です。
2. 部分集合
B のすべての要素が A に含まれているとき、B は A の部分集合です。
B ⊂ A
3. 共通部分と和集合
A ∩ B と A ∪ B
共通部分 A ∩ BAにもBにも入る要素
和集合 A ∪ BAまたはBの少なくとも一方に入る要素
4. 補集合
全体集合 U の中で、A に入らない要素全体を A の補集合といいます。
A̅ = { x ∈ U | x ∉ A }
例題・練習
例題で解法を確認し、続く練習問題で同じ型を解く。
例題 1
集合の記号
次の問いに答えよ。
-
(1)
A=\{1,2,3,4\}\text{ のとき }3\in A\text{ か}
-
(2)
A=\{1,2,3,4\}\text{ のとき }\{1,3\}\subset A\text{ か}
指針
要素と部分集合を区別する。
模範解答を見る
(1)
3\in A\quad\text{は真}
(2)
\{1,3\}\subset A\quad\text{は真}
練習 1
記号
-
(1)
A=\{2,4,6\}\text{ のとき }5\in A\text{ か}
-
(2)
\{2,6\}\subset A\text{ か}
解答を確認
(1)
\text{偽}
(2)
\text{真}
例題 2
共通部分・和集合
次の問いに答えよ。
-
(1)
A=\{1,2,3\},\ B=\{2,3,4\}\text{ の }A\cap B
-
(2)
A\cup B
指針
共通部分は両方に属する要素、和集合は少なくとも一方に属する要素。
模範解答を見る
(1)
A\cap B=\{2,3\}
(2)
A\cup B=\{1,2,3,4\}
練習 2
共通部分・和集合
-
(1)
A=\{1,3,5\},\ B=\{3,4,5\}\text{ の }A\cap B
-
(2)
A\cup B
解答を確認
(1)
\{3,5\}
(2)
\{1,3,4,5\}
例題 3
補集合
次の問いに答えよ。
-
(1)
U=\{1,2,3,4,5,6\},\ A=\{2,4,6\}\text{ の }\overline A
指針
全体集合から A の要素を除く。
模範解答を見る
(1)
\overline A=\{1,3,5\}
練習 3
補集合
-
(1)
U=\{1,2,3,4,5\},\ B=\{1,4\}\text{ の }\overline B
解答を確認
(1)
\{2,3,5\}
節末問題
例題の型を意識せず、自分で方針を選んで解く。
-
(1)
A=\{1,2,4\},\ B=\{2,3,4\}\text{ の }A\cap B
-
(2)
A\cup B
-
(3)
U=\{1,2,3,4,5,6\},\ A=\{1,3,5\}\text{ の }\overline A
答えを確認
(1)\{2,4\}
(2)\{1,2,3,4\}
(3)\{2,4,6\}
解説を見る
(1)
A\cap B=\{2,4\}
(2)
A\cup B=\{1,2,3,4\}
(3)
\overline A=U\setminus A=\{2,4,6\}