要点
- y=a(x-p)^2+q の頂点は (p,q)。
- a>0 なら上に開き、a<0 なら下に開く。
- |a| が大きいほど細くなる。
解説
二次関数 y = a(x - p)² + q では、a・p・q がそれぞれ別の役割を持ちます。
この節の目標
- 頂点を式から読める
- p, q がグラフの移動を表すと説明できる
- a が開き方を決めると分かる
1. まず y = x² を見る
原点を頂点とする放物線です。x と -x で同じ y になるため、y軸に対して左右対称です。
2. p と q を動かしてみる
下のスライダーを動かしてください。式とグラフが同時に変わります。
y = 1.0(x - 0.0)² + 0.0
赤点が頂点 (p, q)。p は左右移動、q は上下移動を表します。
重要y = (x - 2)² は「xから2を引いている」のに、グラフは右へ2移動します。頂点を作る条件 x - 2 = 0 を考えると x = 2 だからです。
3. a は開き方を決める
a > 0 なら上に開き、a < 0 なら下に開きます。|a| が大きいほど細く、0に近いほど広くなります。
頂点は (p, q)。
例題・練習
例題で解法を確認し、続く練習問題で同じ型を解く。
例題 1
頂点と軸を読む
次の問いに答えよ。
-
(1)
y=2(x-3)^2-4
-
(2)
y=-(x+2)^2+5
-
(3)
y=\frac12(x-1)^2
指針
y=a(x-p)^2+q の p,q を読む。
模範解答を見る
(1)
\text{頂点 }(3,-4),\quad\text{軸 }x=3
(2)
\text{頂点 }(-2,5),\quad\text{軸 }x=-2
(3)
\text{頂点 }(1,0),\quad\text{軸 }x=1
練習 1
頂点と軸
-
(1)
y=3(x+1)^2-2
-
(2)
y=-2(x-4)^2+1
-
(3)
y=(x+5)^2
解答を確認
(1)
\text{頂点 }(-1,-2),\ x=-1
(2)
\text{頂点 }(4,1),\ x=4
(3)
\text{頂点 }(-5,0),\ x=-5
例題 2
グラフの開き方
次の問いに答えよ。
-
(1)
y=3x^2
-
(2)
y=-\frac12x^2
-
(3)
y=0.2x^2
指針
a の符号で向き、|a| で幅を判断する。
模範解答を見る
(1)
\text{上に開き、}y=x^2\text{より細い}
(2)
\text{下に開き、}y=x^2\text{より広い}
(3)
\text{上に開き、かなり広い}
練習 2
開き方
-
(1)
y=-4x^2
-
(2)
y=\frac13x^2
解答を確認
(1)
\text{下に開き細い}
(2)
\text{上に開き広い}
節末問題
例題の型を意識せず、自分で方針を選んで解く。
-
(1)
y=-3(x+2)^2+7\text{ の頂点と軸}
-
(2)
y=\frac14(x-6)^2-1\text{ の頂点と軸}
-
(3)
y=-0.5x^2\text{ の開き方を説明}
答えを確認
(1)\text{頂点 }(-2,7),\ \text{軸 }x=-2
(2)\text{頂点 }(6,-1),\ \text{軸 }x=6
(3)\text{下に開き、}y=x^2\text{ より広い}
解説を見る
(1)
y=-3(x+2)^2+7=-3\{x-(-2)\}^2+7
(2)
y=\frac14(x-6)^2-1
(3)
a=-0.5<0,\quad |a|=0.5<1