第2章集合と命題｜第21節

集合の標準問題

集合の記号を覚えたら、次は条件を集合へ直し、複数の情報から集合そのものを復元します。定期試験でよく問われる標準パターンをまとめます。

25〜35分｜標準｜不等式・包含関係・集合の復元

まず考えてみよう

実数全体を全体集合とし、

A = {x | - 2 \leq x < 3}

、

B = {x | 1 < x \leq 5}

とします。

A \cap B

と

A \cup B

を不等式で表せますか。

共通部分

1 < x < 3

両方の条件を同時に満たす

和集合

- 2 \leq x \leq 5

少なくとも一方を満たす

不等式と集合

解の範囲を集合として読む

第16節で連立不等式を「条件の共通部分」として考えました。同じ考えを集合記号で書くと、複数の条件を一つの範囲として整理できます。

例題1 $A = {x | x \geq - 1}$ 、 $B = {x | x < 4}$ のとき、 $A \cap B$ を求める。

両方の条件を同時に満たす範囲を取ります。

A \cap B = {x | - 1 \leq x < 4}

数直線を1本に重ねる

共通部分では重なっている部分、和集合ではどちらかが含まれる部分を読みます。端点を含むかどうかまで確認します。

包含関係と演算

部分集合なら演算結果が決まる

$A \subset B$ なら、 $A$ の要素はすべて $B$ に入っています。

包含関係と集合演算

A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A

A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B

例題2 $A \cap B = A$ のとき、 $A$ と $B$ の包含関係を答える。

共通部分を取っても $A$ がそのまま残るので、 $A$ の全要素が $B$ にも属します。

$A \subset B$

補集合と包含関係

補集合を取ると包含の向きが逆になる

$A \subset B$ なら、 $B$ に入らないものは必ず $A$ にも入りません。

A \subset B \Rightarrow \overline{B} \subset \overline{A}

集合を復元する

4つの領域に分ける

二つの集合は「両方」「 $A$ だけ」「 $B$ だけ」「どちらでもない」の4領域に分けると整理できます。

領域

意味

A \cap B

両方に入る

A \cap \overline{B}

A

だけに入る

\overline{A} \cap B

B

だけに入る

\overline{A} \cap \overline{B}

どちらにも入らない

例題3全体集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ で、 $A \cap B = {3, 4}$ 、 $A \cap \overline{B} = {1, 2}$ 、 $\overline{A} \cap B = {5, 6}$ とする。 $A$ 、 $B$ を求める。

$A$ は「 $A$ だけ」と「両方」を合わせます。

A = {1, 2, 3, 4}

$B$ は「両方」と「 $B$ だけ」を合わせます。

B = {3, 4, 5, 6}

残る7,8はどちらにも属しません。

複合した集合

記号を内側から日本語に直す

読み替え

A \cap \overline{B}

：

A

に入り、

B

には入らない

\overline{A} \cap B

：

B

に入り、

A

には入らない

\overline{A \cup B}

：どちらにも入らない

第20節のド・モルガンの法則により、最後の集合は $\overline{A} \cap \overline{B}$ と同じです。

よくある誤解

「または」は片方だけ、ではありません

$A \cup B$ は $A$ だけ、 $B$ だけ、両方に入る部分をすべて含みます。

要素の個数の公式はここでは扱いません

集合の要素数を数える公式は数学 $A$ の「場合の数と確率」で扱います。この章では集合そのものと論理関係に集中します。

練習問題

1. $A = {x | x > 0}$ 、 $B = {x | x \leq 3}$ のとき $A \cap B$ を不等式で表す。

問1の答えを見る

$0 < x \leq 3$

2. $A = {x | x < 2}$ 、 $B = {x | x \geq - 1}$ のとき $A \cup B$ を求める。

問2の答えを見る

実数全体

3. $A \subset B$ のとき $A \cap B$ を求める。

問3の答えを見る

$A$

4. $A \cup B = B$ のとき、包含関係を答える。

問4の答えを見る

$A \subset B$

5. $A \subset B$ のとき、補集合の包含関係を答える。

問5の答えを見る

$\overline{B} \subset \overline{A}$

6. $A \cap B = {2, 3}$ 、 $A \cap \overline{B} = {1}$ のとき $A$ を求める。

問6の答えを見る

$A = {1, 2, 3}$

7. $\overline{A \cup B}$ を書き換える。

問7の答えを見る

$\overline{A} \cap \overline{B}$

8. $A \cap \overline{B}$ を日本語で説明する。

問8の答えを見る

$A$ に属し、 $B$ には属さない要素全体。

まとめ

集合を領域に分けると標準問題が解ける

不等式の共通部分・和集合は、数直線上の重なりと広がりを読む。
$A \subset B$ は、共通部分・和集合の等式へ言い換えられる。
未知の集合は「 $A$ だけ・両方・ $B$ だけ・どちらでもない」の4領域に分けて復元する。
複合した集合は、記号を内側から日本語に直して読む。