第2章集合と命題｜第18節

集合の演算

二つの集合から、共通部分・和集合・補集合を作ります。記号とベン図を対応させて整理します。

20〜25分｜共通部分・和集合・補集合

前の節から

集合を表せるようになったら、二つの集合から「両方」「少なくとも一方」「外側」を取り出します。

まず考えてみよう

A = {1, 2, 3}

、

B = {3, 4}

のとき、「両方に入る要素」と「少なくとも一方に入る要素」はそれぞれ何でしょうか。

共通部分 $A \cap B$

A

にも

B

にも属する

{3}

和集合 $A \cup B$

A

または

B

の少なくとも一方に属する

{1, 2, 3, 4}

共通部分

$A$ と $B$ の両方に入る要素

$A = {1, 2, 3, 4}$ 、 $B = {3, 4, 5}$ とします。

A \cap B = {3, 4}

$A \cap B$ を $A$ と $B$ の共通部分といいます。

和集合

$A$ または $B$ に入る要素

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}

重複する3,4は一度だけ書きます。

記号

A \cap B

：

A

にも

B

にも属する

A \cup B

：

A

または

B

の少なくとも一方に属する

補集合

全体集合 $U$ の中で $A$ に入らない要素

$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 、 $A = {1, 3, 5}$ とすると、 $A$ の補集合は、

\overline{A} = {2, 4, 6}

です。補集合を考えるときは、どの集合を全体集合 $U$ としているかが必要です。

ド・モルガンの法則

補集合と共通部分・和集合

ド・モルガンの法則

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

「 $A$ または $B$ に入る」の否定は「 $A$ にも $B$ にも入らない」です。

例題

例題 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ 、 $A = {1, 2, 3, 4}$ 、 $B = {3, 4, 5, 6}$

A \cap B = {3, 4}

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

\overline{A} = {5, 6, 7, 8}

ベン図で読む

共通部分と和集合の位置

共通部分は重なりだけ、和集合は二つの円の内側全体です。

ド・モルガンの法則の例

「どちらにも入らない」を表す

$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 、 $A = {1, 2, 3}$ 、 $B = {3, 4}$ とします。

A \cup B = {1, 2, 3, 4}

したがって、 $A \cup B$ の補集合は {5,6} です。一方、 $\overline{A}$ $= {4, 5, 6}$ 、 $\overline{B}$ $= {1, 2, 5, 6}$ なので、

\overline{A} \cap \overline{B} = {5, 6}

となり、 $\overline{A \cup B}$ $=$ $\overline{A}$ $\cap$ $\overline{B}$ を確認できます。

例題2

補集合を含む演算

例題 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 、 $A = {1, 2, 3, 4}$ 、 $B = {3, 4, 5}$ の $\overline{A}$ $\cup B$ を求める。

\overline{A} = {5, 6}

\overline{A} \cup B = {3, 4, 5, 6}

練習問題

1. $A = {1, 2, 4}$ 、 $B = {2, 3, 4}$ の $A \cap B$

問1の答えを見る

考え方： $A$ と $B$ の両方に現れる要素だけを選びます。

{2,4}

2. 同じ $A, B$ の $A \cup B$

問2の答えを見る

考え方： $A$ または $B$ に現れる要素をすべて集め、重複は一度だけ書きます。

{1,2,3,4}

3. $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ 、 $A = {2, 4}$ の $\overline{A}$

問3の答えを見る

考え方：全体集合 $U$ から $A$ に属する要素2と4を除きます。

{1,3,5}

4. $A \cap B = \emptyset$ とは、 $A$ と $B$ がどのような関係か。

問4の答えを見る

考え方：共通部分が空集合なので、両方に属する要素が一つもない関係です。

共通する要素を持たない。

5. $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 、 $A = {1, 2, 3}$ 、 $B = {3, 4}$ の $\overline{A \cup B}$

問5の答えを見る

考え方：先に $A \cup B$ を求め、その要素を全体集合 $U$ から除きます。

{5,6}

6. $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ 、 $A = {1, 2, 3}$ 、 $B = {3, 4}$ の $\overline{A}$ $\cap$ $\overline{B}$

問6の答えを見る

考え方：それぞれの補集合を求め、その両方に含まれる要素を選びます。

{5}

7. $A \subset B$ のとき $A \cap B$ と $A \cup B$ をそれぞれ答える。

問7の答えを見る

考え方： $A$ の全要素が $B$ に含まれるため、共通部分は $A$ 、和集合は $B$ になります。

$A \cap B = A$ 、 $A \cup B = B$ 。

まとめ

$A \cap B$ は両方に属する要素の集合。
$A \cup B$ は少なくとも一方に属する要素の集合。
補集合は全体集合の中でその集合に属さない要素の集合。

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AとBの両方に入る要素

AまたはBに入る要素