第1章数と式｜第4節

展開の工夫

式が長く見えても、同じまとまりを見つけると計算を短くできます。置き換えや計算順序を使って展開します。

20〜25分｜置き換え・組合せ

前の節から

展開公式を覚えたあとは、長い式の中から公式を使えるまとまりを見つける段階です。

まず考えてみよう

(x + y + 1) (x + y - 1)

を、全部ばらばらに掛けずに展開するには、どこを一つのまとまりとして見ればよいでしょうか。

同じ部分を探す

x + y

→

$M$ とおく

(M + 1) (M - 1)

共通する部分を置き換える

同じ式を一つの文字として見る

次の式を考えます。

(x^{2} + 3 x + 1) (x^{2} + 3 x - 2)

$x^{2} + 3 x$ が両方に現れているので、 $A = x^{2} + 3 x$ と置くと、

(A + 1) (A - 2) = A^{2} - A - 2

最後に $A$ を戻して、

{(x^{2} + 3 x)}^{2} - (x^{2} + 3 x) - 2

=

x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 3 x - 2

組合せを変える

先に計算しやすい二つを掛ける

(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9)

最初の二つを平方差でまとめると、

(x^{2} - 9) (x^{2} + 9) = x^{4} - 81

四つの項を順番に展開するより短くなります。

例題

二つの二次式に共通する形

例題 $(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3)$ を展開する。

(x + 1) (x + 4) = x^{2} + 5 x + 4

(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6

$A = x^{2} + 5 x + 5$ と置けば、二つの式は $A - 1$ 、 $A + 1$ です。

(A - 1) (A + 1)

=

A^{2} - 1

=

{(x^{2} + 5 x + 5)}^{2} - 1

= x^{4} + 10 x^{3} + 35 x^{2} + 50 x + 24

式の並べ方

同じまとまりができるように組む

$(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3)$ では、左から順に掛ける必要はありません。

$(x + 1) (x + 4)$ と $(x + 2) (x + 3)$ をそれぞれ計算すると、どちらにも $x^{2} + 5 x$ が現れます。どの組を先に作るかで、その後の計算が簡単になることがあります。

展開の順序は自由

積では、交換法則・結合法則を使って計算しやすい順に組み替えられます。

三文字の展開

${(a + b + c)}^{2}$

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a

$a + b$ を一つのまとまりと見て ${(a + b + c)}^{2} = {((a + b) + c)}^{2}$ と展開すれば導けます。

例題2

三文字を一つのまとまりとして扱う

例題 $(a + b - 2 c) (a + b + 2 c)$ を展開する。

$a + b$ を $A$ と見ると、 $(A - 2 c) (A + 2 c)$ です。

A^{2} - 4 c^{2}

=

{(a + b)}^{2} - 4 c^{2}

=

a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 c^{2}

練習問題

1. $(x^{2} + 2 x + 3) (x^{2} + 2 x - 1)$

問1の答えを見る

考え方： $x^{2} + 2 x$ を一つの文字とみなし、二つの一次式の積として展開してから元へ戻します。

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 3$

2. $(x + 5) (x - 5) (x^{2} + 25)$

問2の答えを見る

考え方：最初の二つを平方差でまとめると、もう一度平方差の形になります。

$x^{4} - 625$

3. ${(a + b + c)}^{2}$ を展開する。

問3の答えを見る

考え方：三つの平方と、異なる二項の積を2倍した三項を書きます。

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$

4. $(x + y + 2) (x + y - 3)$

問4の答えを見る

考え方： $x + y$ を一つの文字とみなして展開し、最後に ${(x + y)}^{2}$ を開きます。

${(x + y)}^{2} - (x + y) - 6 = x^{2} + 2 x y + y^{2} - x - y - 6$

5. $(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$

問5の答えを見る

考え方：最初の二つを平方差にし、続いて $x^{2} - 1$ と $x^{2} + 1$ を平方差で掛けます。

$x^{4} - 1$

6. $(x + 1) (x + 5) (x + 2) (x + 4)$

問6の答えを見る

考え方：積の順序を変え、どちらにも $x^{2} + 6 x$ が現れる組を先に作ります。

$x^{4} + 12 x^{3} + 49 x^{2} + 78 x + 40$

7. ${(a + b - c)}^{2}$

問7の答えを見る

考え方： $a + b$ を一つの文字とみなし、差の平方の公式を使ってから元へ戻します。

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b - 2 b c - 2 c a$

まとめ

同じまとまりが繰り返されるときは置き換える。
平方差が作れる組を先に計算する。
展開する順序によって計算量は変わる。

前後の節