Σ すたまな
第1章 数と式｜第7節

因数分解の工夫

複数の文字を含む式では、一つの文字について整理したり、項を組み替えたりすると因数が見つかります。

20〜25分 ｜ 置き換え・グループ分け
前の節から

公式やたすき掛けだけでは形が見えない式では、どの文字について整理するか、どこで項を組むかを判断します。

まず考えてみよう
x2+xy−y−1 は、そのままでは共通因数が見えません。どの二組に分ければ同じ因数が現れるでしょうか。
全項の共通因数を確認→一つの文字について整理→置き換え・組み替え
一つの文字について整理する

x の多項式として見る

x2+xy−2x+3y−15 を x について整理すると、

x2+(y−2)x+3y−15

定数部分は 3(y−5) です。実際、

(x+3)(x+y−5)

を展開すると元の式になります。

グループ分け

共通因数が作れるように項を組む

a2−b2+ac−bc

前半は平方差、後半は c(a−b) です。

(a−b)(a+b)+c(a−b)
=(a−b)(a+b+c)
置き換え

同じ形が繰り返される場合

(x2+x)2−5(x2+x)+6

A=x2+x と置けば、

A2−5A+6=(A−2)(A−3)

したがって、

(x2+x−2)(x2+x−3)

さらに x2+x−2=(x+2)(x−1) と因数分解できます。

例題
例題x2−y2+x−y を因数分解する。
(x−y)(x+y)+(x−y)
=(x−y)(x+y+1)
一つの文字の一次式として見る

yについて整理する

x2+xy−3x−3y は、yについて見ると、

(x−3)y+x(x−3)

です。共通因数 x−3 をくくれば、

(x−3)(x+y)

となります。

例題2

並べ替えて同じ因数を作る

例題ab−ac+b2−bc を因数分解する。
a(b−c)+b(b−c)
=(a+b)(b−c)
練習問題

1. ax+ay+bx+by

問1の答えを見る

考え方：前二項と後二項に分けると、どちらからもx+yをくくれます。

(a+b)(x+y)

2. x2−4+y(x−2)

問2の答えを見る

考え方：x2−4を平方差にすると、x−2がもう一つの項にも共通していると分かります。

(x−2)(x+2+y)

3. a2−b2+2a−2b

問3の答えを見る

考え方：a2−b2を平方差にし、2a−2bから2をくくるとa−bが共通します。

(a−b)(a+b+2)

4. (x2−x)2−3(x2−x)+2

問4の答えを見る

考え方：x2−xを一つの文字とみなすと、積が2、和が−3の二次式になります。

(x2−x−1)(x2−x−2)

5. x2+xy−3x−3y

問5の答えを見る

考え方：xを含む項とyを含む項に分けると、どちらにもx−3が現れます。

(x−3)(x+y)

6. ax−ay+bx−by

問6の答えを見る

考え方：前二項と後二項に分け、それぞれからx−yをくくります。

(a+b)(x−y)

7. x2+2xy+y2−4

問7の答えを見る

考え方：x2+2xy+y2を(x+y)2と見て、最後に平方差を使います。

(x+y+2)(x+y−2)

まとめ
  • 複数の文字があるときは、一つの文字について整理する。
  • 同じ因数が出るように項を組み替える。
  • 繰り返し現れる式は一文字に置き換える。
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