第1章数と式｜第3節

展開の基本

よく現れる積は、分配法則から展開公式としてまとめられます。公式の形と、どの項がどこから出るかを確認します。

15〜20分｜展開公式

前の節から

前節では、括弧内の各項へ漏れなく掛ける方法を確認しました。何度も現れる積は、展開公式としてまとめて使えます。

まず考えてみよう

{(a + b)}^{2}

を展開したとき、中央の項が

2 a b

になるのはなぜでしょうか。

(a + b) (a + b)

→

a^{2} + a b + a b + b^{2}

同じ

a b

が2個できます

平方の展開

${(a + b)}^{2}$

{(a + b)}^{2}

=

(a + b) (a + b)

=

a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

同じように、

展開公式

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

平方の公式では中央の項 $2 a b$ を落としやすいので注意します。

二つの一次式

$(x + a) (x + b)$

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b

たとえば、

(x + 3) (x - 5) = x^{2} - 2 x - 15

$x$ の係数は $3 + (- 5) = - 2$ 、定数項は $3 \times (- 5) = - 15$ です。

(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d

例題

式の形に合う公式を選ぶ

例題1 ${(2 x - 3)}^{2}$ を展開する。

{(2 x - 3)}^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9

例題2 $(3 x + 5) (3 x - 5)$ を展開する。

和と差の積なので、平方差を使います。

{(3 x)}^{2} - 5^{2} = 9 x^{2} - 25

例題3 $(2 x + 3) (x - 4)$ を展開する。

2 x^{2} - 8 x + 3 x - 12 = 2 x^{2} - 5 x - 12

公式の中央の項

$2 a b$ はどこから出るか

${(a + b)}^{2}$ は $(a + b) (a + b)$ なので、 $a \times b$ と $b \times a$ が一つずつ現れます。

a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

この $2 a b$ を理解しておくと、 ${(a - b)}^{2}$ の中央が $- 2 a b$ になる理由も同じように確認できます。

例題4

二つの公式を続けて使う

例題 ${(x + 2)}^{2} - (x + 2) (x - 2)$ を展開する。

(x^{2} + 4 x + 4) - (x^{2} - 4)

=

4 x + 8

練習問題

1. ${(x + 7)}^{2}$

問1の答えを見る

考え方：和の平方の公式を使います。中央の項は $2 \times x \times 7$ です。

$x^{2} + 14 x + 49$

2. ${(2 x - 5)}^{2}$

問2の答えを見る

考え方：差の平方の公式を使います。中央の項の符号が負になることに注意します。

$4 x^{2} - 20 x + 25$

3. $(4 x + 1) (4 x - 1)$

問3の答えを見る

考え方：和と差の積なので、平方差の公式を使います。

$16 x^{2} - 1$

4. $(x - 2) (x + 6)$

問4の答えを見る

考え方：一次式どうしの積では、定数の和が $x$ の係数、定数の積が定数項になります。

$x^{2} + 4 x - 12$

5. $(3 x - 2) (2 x + 5)$

問5の答えを見る

考え方：4通りの積を作り、 $x$ の項だけを同類項としてまとめます。

$6 x^{2} + 11 x - 10$

6. ${(x - 4)}^{2} - (x + 4) (x - 4)$

問6の答えを見る

考え方：二つの式に共通する $x - 4$ をくくると、計算を短くできます。

$- 8 x + 32$

7. ${(2 x + 1)}^{2} + (2 x - 1) (2 x + 1)$

問7の答えを見る

考え方：二つの式に共通する $2 x + 1$ をくくり、残った式を先にまとめます。

$8 x^{2} + 4 x$

まとめ

展開公式は分配法則をまとめたもの。
${(a \pm b)}^{2}$ では中央の項 $\pm 2 a b$ が現れる。
和と差の積は $a^{2} - b^{2}$ になる。

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(a+b)2

(x+a)(x+b)

式の形に合う公式を選ぶ

2ab はどこから出るか

二つの公式を続けて使う

${(a + b)}^{2}$

$(x + a) (x + b)$

$2 a b$ はどこから出るか