第1章数と式｜第6節

たすき掛け

$a x^{2} + b x + c$ の因数分解では、先頭と定数の因数の組を調べ、中項 $b x$ ができる組を探します。

20〜25分｜二次式の因数分解

前の節から

前節では、先頭の係数が1の二次式を因数分解しました。先頭が1でない場合は、両端の因数を組み合わせて中項を作ります。

まず考えてみよう

6 x^{2} - x - 2

を

(a x + b) (c x + d)

の形にするとき、どの組合せなら中項が

- x

になるでしょうか。

縦の積が先頭の係数と定数項、斜めの積の和が中項の係数になります。

上段から $3 x - 2$ 、下段から $2 x + 1$ と読みます。斜めに掛けた $- 4$ と $3$ の和が $- 1$ なので、中項は $- x$ です。

先頭の積	定数の積	交差してできる中項
$3 x \times 2 x = 6 x^{2}$	$1 \times (- 2) = - 2$	$- 6 x + 2 x = - 4 x$ （不一致）
$3 x \times 2 x$	$(- 2) \times 1$	$3 x - 4 x = - x$ （一致）

基本

$6 x^{2} - x - 2$ を因数分解する

$6 x^{2}$ は $3 x \times 2 x$ 、 $- 2$ は $(- 2) \times 1$ などに分けられます。

(3 x - 2) (2 x + 1)

を展開すると、

6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 = 6 x^{2} - x - 2

中項が $- x$ になるので、これが求める因数分解です。

たすき掛け

中項の係数を作る

$a x^{2} + b x + c = (p x + r) (q x + s)$ とすると、

p q = a, r s = c, p s + q r = b

を満たす $p, q, r, s$ を探します。たすき掛けは、この $p s + q r$ を確認する方法です。

符号から候補を減らせる

定数項

c

が負なら、

r

と

s

の符号は反対です。中項

b

の符号を見て、どちらを正にするかを考えます。

例題

例題1 $6 x^{2} + 7 x + 2$

$6 = 3 \times 2$ 、 $2 = 1 \times 2$ として、

(3 x + 2) (2 x + 1)

なら中項は $3 x + 4 x = 7 x$ 。

6 x^{2} + 7 x + 2 = (3 x + 2) (2 x + 1)

例題2 $8 x^{2} - 2 x - 3$

(4 x - 3) (2 x + 1)

=

8 x^{2} + 4 x - 6 x - 3

=

8 x^{2} - 2 x - 3

共通因数がある場合

たすき掛けの前にくくる

$12 x^{2} + 10 x - 2$ はすべての項が2の倍数です。

12 x^{2} + 10 x - 2 = 2 (6 x^{2} + 5 x - 1)

括弧の中をたすき掛けすると、

6 x^{2} + 5 x - 1 = (6 x - 1) (x + 1)

したがって、

2 (6 x - 1) (x + 1)

候補の絞り方

定数項の符号を見る

$a x^{2} + b x + c$ で $c$ $> 0$ なら、二つの定数項は同符号です。 $c$ $< 0$ なら異符号です。

たとえば $6 x^{2} - 7 x - 3$ では定数項が負なので、括弧の定数項は一方が正、一方が負になります。

6 x^{2} - 7 x - 3 = (3 x + 1) (2 x - 3)

練習問題

1. $2 x^{2} + 5 x + 2$

問1の答えを見る

考え方：先頭 $2 x^{2}$ と定数2の因数を並べ、交差する積の和が $5 x$ になる組を選びます。

$(2 x + 1) (x + 2)$

2. $3 x^{2} - 7 x + 2$

問2の答えを見る

考え方：定数項が正で中項が負なので、二つの定数をともに負にして組を探します。

$(3 x - 1) (x - 2)$

3. $6 x^{2} + x - 2$

問3の答えを見る

考え方：定数項が負なので符号は異なります。交差する積の和が $x$ になる並べ方を選びます。

$(3 x + 2) (2 x - 1)$

4. $10 x^{2} - 7 x - 6$

問4の答えを見る

考え方：先頭 $10 x^{2}$ と定数 $- 6$ の因数を試し、交差する積の和が $- 7 x$ になる組を選びます。

$(5 x - 6) (2 x + 1)$

5. $4 x^{2} + 12 x + 5$

問5の答えを見る

考え方：定数項が正で中項も正なので、二つの定数を正にして組を探します。

$(2 x + 1) (2 x + 5)$

6. $12 x^{2} + 10 x - 2$

問6の答えを見る

考え方：まず全項の共通因数2をくくり、残った二次式をたすき掛けします。

$2 (6 x - 1) (x + 1)$

7. $6 x^{2} - 7 x - 3$

問7の答えを見る

考え方：定数項が負なので符号は異なります。交差する積の和が $- 7 x$ になる組を選びます。

$(3 x + 1) (2 x - 3)$

まとめ

先頭係数と定数項の因数の組を考える。
交差してできる和が中項の係数になる組を選ぶ。
最後に展開して確かめると符号ミスを見つけやすい。

前後の節

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6x2−x−2 を因数分解する

中項の係数を作る

たすき掛けの前にくくる

定数項の符号を見る

$6 x^{2} - x - 2$ を因数分解する