第1章数と式｜第11節

根号を含む計算

根号を含む式も、同じ根号どうしをまとめ、乗除では根号の中を掛け合わせます。分母に根号があるときは有理化します。

20〜25分｜四則計算・有理化

前の節から

根号の意味が分かったら、次は根号を含む式を計算します。加減・乗除・有理化では、見る場所が異なります。

まず考えてみよう

\sqrt{8} + \sqrt{2}

は、そのままでは同じ根号に見えません。

\sqrt{8}

を簡単にすると、まとめられるでしょうか。

計算	最初に見ること	例
加法・減法	根号の中を簡単にし、同じ根号を探す	$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$
乗法・除法	根号の中を掛ける・割る	$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$
分母の有理化	分母から根号をなくす	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

加法・減法

同じ根号にしてからまとめる

3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

根号の中が違う式は、そのままではまとめられません。まず根号の中から平方数を取り出します。

\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}

乗法・除法

根号の中を掛ける・割る

\sqrt{6} \times \sqrt{15} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10}

\sqrt{24} \div \sqrt{6} = \sqrt{4} = 2

根号を含む式でも、展開公式は同じように使えます。

{(\sqrt{3} + 2)}^{2} = 7 + 4 \sqrt{3}

有理化

分母の根号をなくす

\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

分母が二項の場合は、符号だけが異なる共役な式を掛けます。

\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2

\frac{2}{3 + \sqrt{5}} = \frac{2 (3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}

注意

根号は加法に分けられない

$\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ではありません。
たとえば

\sqrt{1 + 3} = 2

ですが、

\sqrt{1} + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3}

です。

例題

例題 $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ を計算する。

和と差の積なので平方差を使います。

(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4

先に簡単化する

加減の前に根号の中を整理する

$\sqrt{50} - 2 \sqrt{8}$ は、そのままでは根号の中が違います。

\sqrt{50} - 2 \sqrt{8} = 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} = \sqrt{2}

平方数を根号の外へ出すと、同じ根号どうしとしてまとめられます。

共役な式

平方差を利用して分母を整数にする

分母が $2 + \sqrt{3}$ なら、共役な $2 - \sqrt{3}$ を掛けます。

(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1

積が1になるので、次のように有理化できます。

\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}

例題2

二項の分母を有理化する

例題 $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ を有理化する。

分母と共役な $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ を、分子と分母に掛けます。

\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}

練習問題

1. $2 \sqrt{8} - \sqrt{18}$

問1の答えを見る

考え方： $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ 、 $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ に直してから、 $\sqrt{2}$ の係数を計算します。

$\sqrt{2}$

2. $\sqrt{12} \times \sqrt{6}$

問2の答えを見る

考え方：根号の中を掛けて $\sqrt{72}$ とし、 $72 = 36 \times 2$ を使って簡単にします。

$6 \sqrt{2}$

3. ${(\sqrt{5} + 1)}^{2}$

問3の答えを見る

考え方：和の平方の公式を使い、 $2 \sqrt{5}$ の項を忘れないようにします。

$6 + 2 \sqrt{5}$

4. $\frac{3}{\sqrt{6}}$ を有理化する。

問4の答えを見る

考え方：分子・分母に $\sqrt{6}$ を掛け、分母を6にしてから $\frac{3}{6}$ を約分します。

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

5. $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ を有理化する。

問5の答えを見る

考え方：分母と共役な $2 + \sqrt{3}$ を掛けると、分母は $4 - 3 = 1$ になります。

$2 + \sqrt{3}$

6. $\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{3}$

問6の答えを見る

考え方：三つの根号をすべて $\sqrt{3}$ の形に直してから係数をまとめます。

$4 \sqrt{3}$

7. $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ を有理化する。

問7の答えを見る

考え方：分母と共役な $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ を掛けると、分母は $3 - 2 = 1$ になります。

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$

まとめ

加減では同じ根号どうしをまとめる。
乗除では根号の中を掛けたり割ったりする。
分母に根号があるときは有理化する。

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