命題とは何か

集合で条件を満たす範囲を表したら、次は「その条件なら別の条件も必ず成り立つか」を判定します。

真か偽かを判定できる文

「2は偶数である」は真、「5は偶数である」は偽です。このように真偽をはっきり決められる文を命題といいます。

一方、「この問題は難しい」のように判断が人によって変わる文は、数学でいう命題ではありません。

「$p$ならば$q$」

条件 $p$ を満たすすべての場合に $q$ も成り立つとき、命題

は真です。

たとえば整数 $n$ について、

は真です。

一つ見つかれば命題は偽

「実数 $x$ について、$x^2$$>1$ なら $x$$>1$」という命題を考えます。

$x=-2$ とすると、$x^2=4$$>1$ ですが $x$$>1$ ではありません。

したがってこの命題は偽です。この $x=-2$ のような例を反例といいます。

$p\Rightarrow q$ が真である条件

$p$を満たすもの全体を$P$、$q$を満たすもの全体を$Q$とします。

$p\Rightarrow q$ が真であることは、$P$のすべての要素が$Q$に含まれることと同じです。

命題の仮定を満たす全場合を考える

「整数$n$について、$n$が偶数なら$n^2$も偶数」という命題は、偶数であるすべての$n$について結論が成り立つ必要があります。

$n=2k$ と書けば、

なので、どの偶数$n$でも$n^2$は偶数です。

真を示す場合と偽を示す場合

命題が偽であることは反例を一つ示せば十分です。一方、真であることを具体例を数個挙げるだけでは証明できません。

文字を使って一般に示す必要があります。