第1章数と式｜第8節

式変形と式の値

値を代入する前に、与えられた条件から求めたい式の形を作ると計算が簡単になることがあります。

20〜25分｜条件を利用した式変形

前の節から

ここまでは式の形そのものを変えてきました。この節では、条件に合う形へ変形してから値を代入します。

まず考えてみよう

x + \frac{1}{x} = 3

のとき、

x^{2} + \frac{1}{x^{2}}

を求めるには、与えられた式をどう使えばよいでしょうか。

求めたい式を確認→条件から同じ形を作る→最後に数値を代入

条件をそのまま使う

$x + \frac{1}{x} = 3$ から何が分かるか

$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ を求めます。

{(x + \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}

左辺は9なので、

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 9 - 2 = 7

$x$ 自身を求めなくても計算できます。

和と積

$x + y$ と $x y$ が分かっている場合

よく使う関係

x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y

{(x - y)}^{2} = {(x + y)}^{2} - 4 x y

$x + y = 8$ 、 $x y = 12$ なら、

x^{2} + y^{2} = 64 - 24 = 40

{(x - y)}^{2} = 64 - 48 = 16

さらに $x$ $>$ $y$ なら $x - y = 4$ です。

例題

例題1 $a + b = 5$ 、 $a b = 3$ のとき $a^{3} + b^{3}$ を求める。

$a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$ より、

125 - 45 = 80

例題2 $x - \frac{1}{x} = 2$ のとき $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ を求める。

{(x - \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = 4

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 6

分数を含む対称式

$x + \frac{1}{x}$ が分かっているとき

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = {(x + \frac{1}{x})}^{3} - 3 (x + \frac{1}{x})

たとえば $x + \frac{1}{x} = 3$ なら、

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 27 - 9 = 18

例題3

和と積から分数式を求める

例題 $a + b = 5$ 、 $a b = 6$ のとき $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ を求める。

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{a b} = \frac{5}{6}

練習問題

1. $x + \frac{1}{x} = 4 のとき x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

問1の答えを見る

考え方：与えられた式を2乗すると、求める二項に加えて2が現れます。

2. $a + b = 7$ 、 $a b = 10$ のとき $a^{2} + b^{2}$

問2の答えを見る

考え方： $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ の形を作ってから、和と積を代入します。

3. $a + b = 6$ 、 $a b = 5$ のとき ${(a - b)}^{2}$

問3の答えを見る

考え方： ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$ を使うと、 $a$ と $b$ を個別に求めずに計算できます。

4. $x - \frac{1}{x} = 3 のとき x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

問4の答えを見る

考え方：与えられた差を2乗すると、求める二項から2を引いた形になります。

5. $a + b = 4$ 、 $a b = 2$ のとき $a^{3} + b^{3}$

問5の答えを見る

考え方： $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$ を使います。

6. $x + \frac{1}{x} = 3 のとき x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$

問6の答えを見る

考え方：三乗の和を、 $x + \frac{1}{x}$ とその積1で表してから代入します。

7. $a + b = 9 、 a b = 14 のとき \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

問7の答えを見る

考え方：通分すると $\frac{a + b}{a b}$ になるので、与えられた和と積をそのまま使えます。

$\frac{9}{14}$

まとめ

条件から求めたい式に近い形を作る。
対称な式では $x + y$ 、 $x y$ を利用できることが多い。
文字そのものを求める必要がない問題も多い。

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x+1x=3 から何が分かるか

x+y と xy が分かっている場合

x+1x が分かっているとき

和と積から分数式を求める

$x + \frac{1}{x} = 3$ から何が分かるか

$x + y$ と $x y$ が分かっている場合

$x + \frac{1}{x}$ が分かっているとき