第1章数と式｜第16節

不等式の活用

文章題では、「何を $x$ とするか」「条件をどの不等号で表すか」「整数としてどこまで取れるか」の3点を順に確認します。

25〜35分｜料金・個数・平均・整数条件

前の節から

不等式を解く計算ができたら、文章の条件を不等式へ直し、求めた範囲を現実の条件に合わせて読み取ります。

まず考えてみよう

1個120円の商品と送料500円の合計を2000円以下にしたいとき、購入個数を

x

個として、どの不等式を立てればよいでしょうか。

何を

x

とするか決める→文章を不等式にする→整数・個数の条件を確認

120 x + 500 \leq 2000

文章を式にする

料金の比較

$A$ プランは基本1200円で、1回につき80円。 $B$ プランは基本2000円で、1回につき50円とします。利用回数を $x$ 回とすると、料金は次のように表せます。

	基本料金	1回あたり	合計
$A$	1200円	80円	$1200 + 80 x$
$B$	2000円	50円	$2000 + 50 x$

$B$ の方が安い条件は、

2000 + 50 x < 1200 + 80 x

800 < 30 x \Rightarrow x > \frac{80}{3}

$\frac{80}{3} = 26.66 \dots$ ですが、利用回数は整数です。

したがって、 $B$ の方が安くなるのは 27回以上です。

個数・人数

不等式を解いたあと、整数条件を入れる

例題 11冊450円の本を、送料700円込みで5000円以内にしたい。最大何冊買えるか。

冊数を $x$ 冊とすると、

450 x + 700 \leq 5000

x \leq \frac{86}{9} = 9.55 \dots

冊数は0以上の整数なので、最大は 9冊です。

日本語と不等号

等号を含むかどうかを読む

日本語	式	端点
$a$ 以上	$x \geq a$	含む
$a$ 以下	$x \leq a$	含む
$a$ より大きい	$x > a$	含まない
$a$ 未満	$x < a$	含まない

平均の条件

「平均が○以上」をそのまま不等式にする

例題 24回のテストが72点、68点、75点、 $x$ 点。平均を70点以上にするには、4回目は何点以上必要か。

\frac{72 + 68 + 75 + x}{4} \geq 70

215 + x \geq 280

x \geq 65

したがって、4回目は 65点以上必要です。

整数解の個数から逆に考える

$0 \leq x < a$ の整数解が5個

条件を満たす整数がちょうど5個なら、その5個は

0, 1, 2, 3, 4

です。4は範囲に入り、5は入りません。

$x < a$ に4を入れられるには $a > 4$ 。5を入れないためには $a \leq 5$ です。

4 < a \leq 5

例題

条件が2つある文章題

例題 31個120円の商品を、送料600円込みで3000円以下にし、10個以上買う。個数の範囲を求める。

個数を $x$ とすると、

120 x + 600 \leq 3000, x \geq 10

x \leq 20, x \geq 10

$x$ は整数なので、

10 \leq x \leq 20

の整数です。

練習問題

式を立て、最後に条件を読み直す

1. 1個180円の商品を、送料500円込みで2500円以下にする。最大何個買えるか。

問1の答えを見る

考え方：購入個数を $x$ 個として代金と送料の合計を式にし、得た上限以下の最大整数を選びます。

$180 x + 500 \leq 2500$ より $x \leq \frac{100}{9}$ 。したがって最大11個。

2. 入場料800円、1回150円。総額2000円以下なら最大何回利用できるか。

問2の答えを見る

考え方：利用回数を $x$ 回として固定料金と利用料金の合計を式にし、最大整数を選びます。

$800 + 150 x \leq 2000$ より $x \leq 8$ 。最大8回。

3. $x < a$ を満たす0以上の整数が0,1,2の3個だけである。 $a$ の範囲。

問3の答えを見る

考え方：2を含めるには $a > 2$ 、3を含めないためには $a \leq 3$ が必要です。

$2 < a \leq 3$

4. 1個250円の商品を10個以上買い、合計4000円以下にする。個数 $x$ の範囲。

問4の答えを見る

考え方：10個以上という下限と、合計金額から得る上限を同時に満たす整数を取ります。

$10 \leq x \leq 16$ の整数。

5. $2 \leq x < a$ を満たす整数が2,3,4,5の4個だけになる $a$ の範囲。

問5の答えを見る

考え方：5を含めるには $a > 5$ 、6を含めないためには $a \leq 6$ が必要です。

$5 < a \leq 6$

6. 3回の得点が60点、72点、 $x$ 点。平均65点以上にするための $x$ の範囲。

問6の答えを見る

考え方：3回分の合計を3で割った平均が65以上になる不等式を立てます。

$x \geq 63$

7. $0 \leq x < a$ を満たす整数が6個のとき、 $a$ の範囲。

問7の答えを見る

考え方：5を含めるには $a > 5$ 、6を含めないためには $a \leq 6$ が必要です。

整数は0,1,2,3,4,5なので、 $5 < a \leq 6$ 。

8. 1回目から4回目までの平均を80点以上にしたい。最初の3回が78点、84点、76点のとき、4回目は何点以上必要か。

問8の答えを見る

考え方：4回分の合計を4で割った平均が80以上になる不等式を立てます。

$\frac{78 + 84 + 76 + x}{4} \geq 80$ より $x \geq 82$ 。82点以上。

第1章のまとめ

求めたい量を文字で置き、文章の条件を不等式にする。
「以上・以下」は等号を含み、「より大きい・未満」は等号を含まない。
個数・人数・回数では、最後に整数条件を確認する。
整数解の個数から文字の範囲を求めるときは、「最後に入る整数」と「最初に入らない整数」を見る。

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