第1章数と式｜第10節

平方根と根号

平方して $a$ になる数が $a$ の平方根です。 $\sqrt{a}$ の意味と、 $\sqrt{a^{2}}$ の扱いを整理します。

15〜20分｜平方根・根号

前の節から

前節で見た無理数の代表が、根号を使って表す数です。まず平方根と根号の意味を区別します。

まず考えてみよう

\sqrt{{(- 3)}^{2}}

は

- 3

でしょうか、それとも

3

でしょうか。根号は0以上の値を表すことに注意します。

$a$ の符号	$\sqrt{a^{2}}$	理由
$a \geq 0$	$a$	もともと0以上
$a < 0$	$- a$	$- a$ が0以上
まとめ	$\| a \|$	常に0以上になる形

平方根

平方して $a$ になる数

9の平方根は3と $- 3$ です。どちらも2乗すると9になります。

3^{2} = 9, {(- 3)}^{2} = 9

$a$ $> 0$ のとき、 $a$ の平方根は $\sqrt{a}$ と $- \sqrt{a}$ の2つです。 $\sqrt{9}$ は 3 を表します。

「9の平方根」と「

\sqrt{9}

」は違う

9の平方根は

\pm 3

ですが、

\sqrt{9}

は正の方の3です。

根号の簡単化

平方数を根号の外へ出す

\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2 \sqrt{3}

\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6 \sqrt{2}

逆に、正の数 $a$ について $3 \sqrt{2} = \sqrt{18}$ のように根号の中へ入れることもできます。

\sqrt{a^{2}}

答えは $| a |$

\sqrt{a^{2}} = | a |

$\sqrt{a^{2}}$ は $a^{2}$ の0以上の平方根なので、 $a$ が負の場合も答えは正になります。

たとえば $a = - 3$ なら、

\sqrt{a^{2}} = \sqrt{9} = 3 = | - 3 |

\sqrt{a^{2} b} = | a | \sqrt{b} (b \geq 0)

例題

例題 $x$ $< 0$ のとき $\sqrt{9 x^{2}}$ を簡単にする。

\sqrt{9 x^{2}} = 3 | x |

$x$ $< 0$ なので $| x | = - x$ 。

\sqrt{9 x^{2}} = - 3 x

根号の積

$a, b \geq 0$ のとき $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b}$

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4

この性質は根号の簡単化にも使います。

\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3 \sqrt{5}

定義できる範囲

$\sqrt{a}$ は $a \geq 0$ で考える

実数の範囲では、 $\sqrt{a}$ が定義されるのは $a \geq 0$ の場合です。たとえば $\sqrt{x - 2}$ が実数になるためには、

x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2

例題2

文字の符号を含む根号

例題 $a$ $< 0$ のとき $\sqrt{12 a^{2}}$ を簡単にする。

\sqrt{12 a^{2}} = 2 \sqrt{3} | a |

$a$ $< 0$ なので $| a | = - a$ 。

\sqrt{12 a^{2}} = - 2 a \sqrt{3}

練習問題

1. 16の平方根を答える。

問1の答えを見る

考え方：平方して16になる数は4と $- 4$ の二つです。 $\sqrt{16}$ そのものは4だけを表します。

$\pm 4$

2. $\sqrt{48}$ を簡単にする。

問2の答えを見る

考え方： $48 = 16 \times 3$ と分け、平方数16を根号の外へ出します。

$4 \sqrt{3}$

3. $\sqrt{75}$ を簡単にする。

問3の答えを見る

考え方： $75 = 25 \times 3$ と分け、平方数25を根号の外へ出します。

$5 \sqrt{3}$

4. $a$ $> 0$ のとき $\sqrt{16 a^{2}}$

問4の答えを見る

考え方： $\sqrt{16 a^{2}} = 4 | a |$ です。 $a > 0$ なので $| a | = a$ とできます。

$4 a$

5. $a$ $< 0$ のとき $\sqrt{25 a^{2}}$

問5の答えを見る

考え方： $\sqrt{25 a^{2}} = 5 | a |$ です。 $a < 0$ なので $| a | = - a$ とします。

$- 5 a$

6. $\sqrt{98}$ を簡単にする。

問6の答えを見る

考え方： $98 = 49 \times 2$ と分け、平方数49を根号の外へ出します。

$7 \sqrt{2}$

7. $\sqrt{x - 5}$ が実数になる $x$ の範囲。

問7の答えを見る

考え方：根号の中は0以上でなければならないので、 $x - 5 \geq 0$ を解きます。

$x \geq 5$

まとめ

$a$ の平方根と $\sqrt{a}$ は同じ意味ではない。
平方数を根号の外へ出して簡単にする。
$\sqrt{a^{2}} = | a |$ 。

前後の節

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平方して a になる数

平方数を根号の外へ出す

答えは |a|

a,b≥0 のとき ab=ab

a は a≥0 で考える

文字の符号を含む根号

平方して $a$ になる数

答えは $| a |$

$a, b \geq 0$ のとき $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b}$

$\sqrt{a}$ は $a \geq 0$ で考える