第1章数と式｜第15節

絶対値を含む方程式・不等式

絶対値は数直線上の距離です。図で範囲を確かめてから式に戻すと、内側と外側の違いがはっきりします。

25〜35分｜距離・数直線・場合分け

前の節から

絶対値を距離として読み、不等式を範囲として表すと、絶対値を含む不等式を図と式の両方で考えられます。

まず考えてみよう

| x - 3 | < 2

と

| x - 3 | > 2

では、答えが中心の内側と外側に分かれます。どちらが内側でしょうか。

距離が2より小さい

1 < x < 5

中心3の内側

距離が2より大きい

x < 1

または

x > 5

中心3の外側

絶対値と距離

$| x - 3 |$ は、 $x$ と3の距離

$| x - 3 | = 2$ は、「3からの距離が2である点」を表します。

| x - 3 | = 2 \Rightarrow x = 1, 5

距離が小さい

「2より近い」は内側

$| x - 3 | < 2$ なら、 $x$ は3から2より近い位置にあります。

3を中心に、距離2より内側だけが解です。

| x - 3 | < 2 \Leftrightarrow 1 < x < 5

距離が大きい

「2より遠い」は外側

$| x - 3 | > 2$ なら、3から2より遠い位置です。

中心から外側へ分かれるので、答えは2つの範囲になります。

| x - 3 | > 2 \Leftrightarrow x < 1 または x > 5

「または」は、左右の条件のうち、どちらか一方を満たせばよいことを表します。

基本形

中心が0でも、中心がずれていても同じ

$a > 0$ のとき、距離の図から次が分かります。

| x | < a \Leftrightarrow - a < x < a

| x | \leq a \Leftrightarrow - a \leq x \leq a

| x | > a \Leftrightarrow x < - a または x > a

例題

中身が一次式でも同じ形にする

例題 1 $| 3 x - 2 | \leq 4$ を解く。

- 4 \leq 3 x - 2 \leq 4

- 2 \leq 3 x \leq 6

- \frac{2}{3} \leq x \leq 2

例題 2 $| 2 x + 1 | > 5$ を解く。

2 x + 1 < - 5 または 2 x + 1 > 5

x < - 3 または x > 2

右辺にも文字がある場合

絶対値の中身の符号で場合分けする

$| x - 1 | \leq x + 2$ は、右辺が定数ではないので、 $x = 1$ を境に場合分けします。

$x \geq 1$

x - 1 \leq x + 2

常に成り立つので、この場合は $x \geq 1$ 。

$x < 1$

- x + 1 \leq x + 2

x \geq - \frac{1}{2}

場合分けの条件と合わせて $- \frac{1}{2} \leq x < 1$ 。

2つを合わせると、

x \geq - \frac{1}{2}

右辺の符号

絶対値は必ず0以上

| x - 1 | = - 2

距離が負になることはないので、解なし。

| x - 1 | \geq - 2

左辺は常に0以上なので、すべての実数。

練習問題

距離と式を対応させる

1. $| x | = 4$

問1の答えを見る

考え方：0からの距離が4になる点は、4と $- 4$ の二つです。

$x = \pm 4$

2. $| x - 2 | \leq 3$

問2の答えを見る

考え方：2からの距離が3以下なので、 $2 - 3$ から $2 + 3$ までの内側を取ります。

$- 1 \leq x \leq 5$

3. $| x + 1 | > 2$

問3の答えを見る

考え方： $- 1$ からの距離が2より大きいので、境界 $- 3$ と1の外側を取ります。

$x < - 3$ または $x > 1$

4. $| 2 x - 3 | = 7$

問4の答えを見る

考え方：中身が7の場合と $- 7$ の場合に分け、それぞれ一次方程式を解きます。

$x = 5, - 2$

5. $| x + 2 | < 4$

問5の答えを見る

考え方： $- 2$ からの距離が4より小さいので、 $- 6$ と2の間を取ります。

$- 6 < x < 2$

6. $| x + 3 | = - 1$

問6の答えを見る

考え方：絶対値は必ず0以上なので、 $- 1$ になる実数はありません。

解なし。

7. $| 3 x - 2 | \leq 4$

問7の答えを見る

考え方： $- 4 \leq 3 x - 2 \leq 4$ と直し、三つの辺へ同じ操作を行います。

$- \frac{2}{3} \leq x \leq 2$

8. $| x - 4 | > 3$

問8の答えを見る

考え方：4からの距離が3より大きいので、1と7の外側を取ります。

4から3より遠いので、 $x < 1$ または $x > 7$ 。

まとめ

$| x - a |$ は、数直線上で $x$ と $a$ の距離。
「距離が小さい」は中心の内側、「距離が大きい」は外側。
右辺が正の定数なら、距離から範囲を読める。
右辺にも文字がある場合は、絶対値の中身の符号で場合分けする。

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|x−3| は、x と3の距離