第1章数と式｜第5節

因数分解の基本

因数分解は、展開した式を積の形に戻す操作です。共通因数と展開公式を逆向きに使います。

15〜20分｜共通因数・公式型

前の節から

展開では積を和に直しました。因数分解では、その道を逆向きにたどって和を積へ戻します。

まず考えてみよう

x^{2} + 5 x + 6

を積の形に戻すには、和が5、積が6になる二つの数を探します。何と何でしょうか。

展開

(x + 2) (x + 3)

⇄

因数分解

x^{2} + 5 x + 6

共通因数

すべての項に共通するものをくくる

6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)

因数分解では、まず共通因数がないかを確認します。

4 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x = 4 x (x^{2} - 2 x + 3)

展開公式を逆に使う

平方・平方差の形

因数分解の公式

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}

4 x^{2} - 25 = (2 x + 5) (2 x - 5)

x^{2} + (a + b) x + a b

和と積から二つの数を探す

$x^{2} + 5 x + 6$ を考えます。和が5、積が6になる二つの数は2と3です。

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)

符号も同じように考えます。

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

例題

共通因数を先に出す

例題 $2 x^{3} - 18 x$ を因数分解する。

2 x^{3} - 18 x

=

2 x (x^{2} - 9)

=

2 x (x + 3) (x - 3)

共通因数をくくったあとに、さらに因数分解できないかを確認します。

因数分解の順序

共通因数を先に見る

$6 x^{3} - 24 x$ なら、まず $6 x$ をくくります。

6 x^{3} - 24 x

=

6 x (x^{2} - 4)

=

6 x (x + 2) (x - 2)

一度因数分解したあとも、括弧の中がさらに分解できないか確認します。

例題2

平方の形を見抜く

例題 $4 x^{2} - 12 x + 9$ を因数分解する。

$4 x^{2} = {(2 x)}^{2}$ 、 $9 = 3^{2}$ 、中央は $- 2 \cdot 2 x \cdot 3 = - 12 x$ なので、

4 x^{2} - 12 x + 9 = {(2 x - 3)}^{2}

練習問題

1. $8 x^{2} + 12 x$

問1の答えを見る

考え方：すべての項に共通する最大の因数 $4 x$ を先にくくります。

$4 x (2 x + 3)$

2. $x^{2} + 10 x + 25$

問2の答えを見る

考え方： $x^{2}$ と25が平方で、中央の $10 x$ が $2 \times x \times 5$ なので、和の平方です。

${(x + 5)}^{2}$

3. $9 x^{2} - 16$

問3の答えを見る

考え方： $9 x^{2}$ と16の差なので、平方差の公式を逆向きに使います。

$(3 x + 4) (3 x - 4)$

4. $x^{2} + 2 x - 15$

問4の答えを見る

考え方：和が2、積が $- 15$ になる二数5と $- 3$ を使います。

$(x + 5) (x - 3)$

5. $3 x^{3} - 27 x$

問5の答えを見る

考え方：まず共通因数 $3 x$ をくくると、括弧内が平方差になります。

$3 x (x + 3) (x - 3)$

6. $5 x^{3} - 45 x$

問6の答えを見る

考え方：まず共通因数 $5 x$ をくくると、括弧内が平方差になります。

$5 x (x + 3) (x - 3)$

7. $4 x^{2} + 20 x + 25$

問7の答えを見る

考え方： $4 x^{2}$ と25が平方で、中央の $20 x$ が $2 \times 2 x \times 5$ なので、和の平方です。

${(2 x + 5)}^{2}$

まとめ

最初に共通因数を探す。
展開公式を逆向きに使う。
$x^{2} + b x + c$ は、和が $b$ 、積が $c$ となる二数を探す。

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