第2章集合と命題｜第23節

対偶を使った証明

命題 $p \Rightarrow q$ を直接示しにくいとき、同値な対偶 $\overline{q}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$ を証明する方法があります。

20〜30分｜対偶・整数の証明

前の節から

元の命題と対偶は常に同じ真偽になります。この性質を使うと、直接示しにくい命題を別の向きから証明できます。

まず考えてみよう

「

n^{2}

が偶数ならば

n

は偶数」を直接示す代わりに、どの対偶を証明すればよいでしょうか。

元の命題

n^{2}

が偶数

\Rightarrow

n

が偶数

→

証明する命題

n

が奇数

\Rightarrow

n^{2}

が奇数

対偶による証明

元の命題と対偶は同値

命題 $p \Rightarrow q$ と、その対偶 $\overline{q}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$ は常に同じ真偽になります。したがって、対偶を証明すれば元の命題も証明できます。

代表例

$n^{2}$ が偶数なら $n$ は偶数

整数 $n$ について、

n^{2}

が偶数

\Rightarrow n

が偶数

を示します。対偶は、

n

が奇数

\Rightarrow n^{2}

が奇数

です。

証明対偶を示す。

$n$ が奇数なら、ある整数 $k$ を用いて $n = 2 k + 1$ と書けます。

n^{2}

=

{(2 k + 1)}^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1

=

2 (2 k^{2} + 2 k) + 1

$2 k^{2} + 2 k$ は整数なので、 $n^{2}$ は奇数です。よって対偶が真であり、元の命題も真です。

直接証明との比較

結論の否定が具体的になるときに使いやすい

「 $n^{2}$ が偶数」から $n$ の形を直接決めるのは簡単ではありません。一方、「 $n$ が奇数」は $n = 2 k + 1$ と書けるので計算できます。

対偶を使うかどうかは、どちらの仮定が式にしやすいかで判断します。

例題

例題整数 $a, b$ について、 $a b$ が奇数なら $a, b$ はともに奇数であることを示す。

対偶は「 $a$ または $b$ が偶数なら $a b$ は偶数」です。

$a$ が偶数なら $a = 2 k$ と書けるので、 $a b = 2 k b$ は偶数です。 $b$ が偶数の場合も同様です。

したがって対偶が真なので、元の命題も真です。

3の倍数の例

$n^{2}$ が3の倍数なら $n$ も3の倍数

対偶「 $n$ が3の倍数でないなら $n^{2}$ も3の倍数でない」を示します。

3の倍数でない整数 $n$ は、ある整数 $k$ を用いて $n = 3 k + 1$ または $n = 3 k + 2$ と書けます。

{(3 k + 1)}^{2} = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1

{(3 k + 2)}^{2} = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1

どちらも3で割ると余り1なので、 $n^{2}$ は3の倍数ではありません。したがって元の命題は真です。

証明の書き方

対偶を示していることを明記する

答案では「対偶を示す」と書いたうえで、対偶の仮定から結論までを示します。最後に「よって対偶が真なので、元の命題も真」と結びます。

練習問題

1. 「 $n^{2}$ が3の倍数なら $n$ は3の倍数」の対偶を書く。

問1の答えを見る

考え方：結論を否定して仮定側へ移し、仮定も否定します。

$n$ が3の倍数でないなら $n^{2}$ は3の倍数でない。

2. 「 $a b$ が偶数なら $a$ または $b$ が偶数」の対偶を書く。

問2の答えを見る

考え方：「 $a$ または $b$ が偶数」の否定は「 $a, b$ がともに奇数」です。

$a, b$ がともに奇数なら $a b$ は奇数。

3. 奇数 $n$ の平方が奇数になることを式で示す。

問3の答えを見る

考え方：奇数を $2 k + 1$ とおいて2乗し、 $2 \times$ 整数 $+ 1$ の形へ整理します。

$n = 2 k + 1$ とおけば $n^{2} = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ 。

4. 「 $x^{2}$ $< 1$ なら $- 1$ $<$ $x$ $< 1$ 」の対偶を答える。

問4の答えを見る

考え方：結論 $- 1 < x < 1$ の否定を仮定にし、元の仮定 $x^{2} < 1$ を否定した形を結論にします。

$x \leq - 1$ または $x \geq 1$ なら $x^{2} \geq 1$ 。

5. 対偶による証明が元の命題の証明になる理由。

問5の答えを見る

考え方：元の命題と対偶は同値なので、対偶が真なら元の命題も真です。

元の命題と対偶は常に同値だから。

6. $n = 3 k + 2$ のとき $n^{2}$ を3で割った余りを求める。

問6の答えを見る

考え方： $n = 3 k + 2$ を2乗し、3の倍数の部分と余りの部分に分けます。

1。

7. 「 $a b$ が奇数なら $a, b$ はともに奇数」を対偶で証明するとき、対偶を答える。

問7の答えを見る

考え方：結論「 $a, b$ とも奇数」を否定すると「 $a$ または $b$ が偶数」になります。

$a$ または $b$ が偶数なら $a b$ は偶数。

まとめ

$p \Rightarrow q$ と $\overline{q}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$ は同値。
結論の否定を仮定すると具体的な式が作れる場合、対偶が有効。
整数の偶奇・倍数の証明でよく使う。

前後の節

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元の命題と対偶は同値

n2が偶数ならnは偶数

結論の否定が具体的になるときに使いやすい

n2が3の倍数ならnも3の倍数

対偶を示していることを明記する

$n^{2}$ が偶数なら $n$ は偶数

$n^{2}$ が3の倍数なら $n$ も3の倍数