第1章数と式｜第2節

多項式の計算

多項式の計算では、括弧を外したあとに同類項をまとめます。減法では符号、乗法では掛け漏れに注意します。

15〜20分｜加法・減法・乗法

前の節から

前節では、同じ文字を同じ次数でもつ項を同類項として見分けました。ここでは、括弧を含む式でも同類項を正しくまとめます。

まず考えてみよう

次の減法では、後ろの括弧を外したときにどの符号が変わるでしょうか。

(3 x^{2} + 2 x - 1) - (x^{2} - 4 x + 3)

括弧の前の「 $-$ 」を、後ろの3項すべてに掛けることがポイントです。

1　括弧を外す
前の数を全項に掛ける

→

2　同類項を集める
次数ごとに係数を計算する

加法と減法

同類項をまとめる

多項式どうしの加法は、括弧を外してから同類項をまとめます。

(3 x^{2} - 2 x + 5) + (x^{2} + 4 x - 1)

=

4 x^{2} + 2 x + 4

減法では、後ろの括弧全体に $- 1$ を掛けます。

(3 x^{2} + 2 x - 1) - (x^{2} - 4 x + 3)

=

3 x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 4 x - 3 = 2 x^{2} + 6 x - 4

括弧の前が「 $-$ 」なら、括弧内のすべての項の符号が変わります。

乗法

各項に漏れなく掛ける

単項式と多項式の積は、単項式を括弧内の各項に掛けます。

- 3 x (2 x^{2} - x + 4) = - 6 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x

多項式どうしでも同じです。

(x + 2) (x - 3)

=

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

=

x^{2} - x - 6

例題

$A$ 、 $B$ を使った計算

例題 $A = 2 x^{2} - x + 3$ 、 $B = x^{2} + 4 x - 2$ のとき、 $2 A - B$ を求める。

2 A - B

=

(4 x^{2} - 2 x + 6) - (x^{2} + 4 x - 2)

=

3 x^{2} - 6 x + 8

それぞれの式を代入するときに括弧を付けると、符号を処理しやすくなります。

指数の計算

文字を掛けるときは指数法則を使う

単項式どうしの積では、係数と文字を分けて計算します。

(- 2 x^{2}) (3 x^{3}) = - 6 x^{5}

$x^{2} \times x^{3} = x^{5}$ となるのは、 $x$ を合計5個掛けているからです。加法では指数を足しません。

2 x^{2} + 3 x^{2} = 5 x^{2}

2 x^{2} + 3 x^{3}

はこれ以上まとめられない

例題2

括弧が二重になる計算

例題 $2 (3 x^{2} - x + 1) - 3 (x^{2} + 2 x - 4)$ を計算する。

6 x^{2} - 2 x + 2 - 3 x^{2} - 6 x + 12

=

3 x^{2} - 8 x + 14

括弧の前の係数をすべての項に掛けてから、同類項をまとめます。

練習問題

1. $(2 x^{2} - 3 x + 1) + (x^{2} + 5 x - 4)$

問1の答えを見る

考え方：括弧を外し、2次・1次・定数の項に分けて、それぞれの係数を足します。

$3 x^{2} + 2 x - 3$

2. $(4 x^{2} + x - 2) - (x^{2} - 3 x + 5)$

問2の答えを見る

考え方：後ろの括弧の前に「 $-$ 」があるので、括弧内の3項すべての符号を変えてからまとめます。

$3 x^{2} + 4 x - 7$

3. $2 x (3 x^{2} - 4 x + 1)$

問3の答えを見る

考え方： $2 x$ を括弧内の3項すべてに掛けます。文字の積では指数を足します。

$6 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x$

4. $(2 x - 1) (x + 3)$

問4の答えを見る

考え方：前の括弧の2項を、後ろの括弧の2項へそれぞれ掛けてから同類項をまとめます。

$2 x^{2} + 5 x - 3$

5. $A = x^{2} - 2 x + 1$ 、 $B = 2 x^{2} + x - 3$ のとき $A - 2 B$

問5の答えを見る

考え方： $A$ と $B$ を括弧付きで代入し、 $B$ 全体に $- 2$ を掛けてから同類項をまとめます。

$- 3 x^{2} - 4 x + 7$

6. $(- 2 x^{2}) (4 x^{3})$

問6の答えを見る

考え方：係数は $- 2 \times 4$ 、文字は $x^{2} \times x^{3}$ として別々に計算します。

$- 8 x^{5}$

7. $3 (2 x^{2} + x - 1) - 2 (x^{2} - 4 x + 3)$

問7の答えを見る

考え方：最初に3と $- 2$ を各括弧の全項へ掛け、そのあとで同類項をまとめます。

$4 x^{2} + 11 x - 9$

まとめ

加法・減法は括弧を外して同類項をまとめる。
減法では後ろの多項式全体の符号を変える。
乗法は各項に漏れなく掛ける。

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同類項をまとめる

各項に漏れなく掛ける

A、Bを使った計算

文字を掛けるときは指数法則を使う

括弧が二重になる計算

$A$ 、 $B$ を使った計算