第1章数と式｜第13節

一次不等式

方程式との違いは、答えが「1つの値」ではなく「範囲」になることです。計算と数直線を対応させながら、不等号の扱いを確認します。

25〜30分｜不等式の意味・不等号の反転・一次不等式

前の節から

絶対値で数直線上の距離を見たように、不等式では数直線上の範囲を読みます。

まず考えてみよう

- 2 x < 6

の両辺を

- 2

で割るとき、なぜ不等号を逆向きにする必要があるのでしょうか。

- 2 < 1

両辺に

- 1

を掛ける

→

2 > - 1

左右の順序が反転

不等式の解

$x < 4$ は、4より左のすべての数

方程式 $x = 4$ の解は1つですが、不等式 $x < 4$ の解は、4より小さい実数すべてです。

端の4を含まないので、4の位置は○で表します。

端を含まない端を含む

不等式の性質

何をしてもよいか

両辺に同じ数を足したり引いたりしても、大小関係は変わりません。正の数を掛けたり割ったりするときも同じです。

a < b \Rightarrow a + c < b + c

a < b, c > 0 \Rightarrow a c < b c

負の数を掛ける

なぜ不等号が逆向きになるのか

$2 < 5$ の両辺に $- 1$ を掛けると、2と5は原点をはさんで反対側へ移ります。

2は5より左ですが、反転後は

- 2

が

- 5

より右にあります。

2 < 5 \Rightarrow - 2 > - 5

負の数を掛ける・割るとき

a < b, c < 0 \Rightarrow a c > b c

一次不等式を解く

計算して、最後に範囲を読む

例題 1 $3 x - 5 < 7$ を解く。

3 x - 5 < 7 \Rightarrow 3 x < 12 \Rightarrow x < 4

最後に3で割っています。3は正なので、不等号の向きはそのままです。

例題 2 $- 2 x + 3 \leq 9$ を解く。

- 2 x \leq 6

ここで両辺を $- 2$ で割るため、不等号を逆向きにします。

x \geq - 3

分数・小数

正の数を掛けて分母や小数を消す

例題 3 $\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 1}{3} > 1$

両辺に6を掛けます。6は正なので、不等号の向きは変わりません。

3 (x - 1) - 2 (x + 1) > 6

x - 5 > 6 \Rightarrow x > 11

すべての実数・解なし

$x$ が消えたら、残った文の真偽を見る

すべての実数

2 (x + 1) < 2 x + 5

2 < 5

常に真なので、すべての実数が解です。

解なし

3 x + 4 < 3 x + 1

4 < 1

常に偽なので、解はありません。

練習問題

計算と範囲を結びつける

1. $5 x - 3 > 12$

問1の答えを見る

考え方：定数項を右辺へ移し、最後に正の数5で割ります。

$x > 3$

2. $- 3 x + 2 \leq 11$

問2の答えを見る

考え方： $- 3 x \leq 9$ まで整理したあと、負の数 $- 3$ で割るため不等号を逆向きにします。

$x \geq - 3$ 。最後に負の数で割るので向きを反転します。

3. $2 (x - 4) < 3 x + 1$

問3の答えを見る

考え方：左辺の括弧を外すと $2 x - 8 < 3 x + 1$ です。両辺から $2 x + 1$ を引くと、 $- 9 < x$ になります。

$x > - 9$

4. $\frac{x - 1}{3} \geq 2$

問4の答えを見る

考え方：両辺に正の数3を掛けて分母を消し、 $x - 1 \geq 6$ を解きます。

$x \geq 7$

5. $0.4 x - 1.2 < 0.8$

問5の答えを見る

考え方：両辺を10倍して小数を消してから、通常の一次不等式として解きます。

$x < 5$

6. $\frac{x + 2}{2} \leq \frac{x + 8}{3}$

問6の答えを見る

考え方：正の数6を掛けて分母を消すと、 $3 (x + 2) \leq 2 (x + 8)$ になります。

$x \leq 10$

7. $4 (x - 1) > 4 x - 7$

問7の答えを見る

考え方：両辺から $4 x$ を引くと文字が消え、常に成り立つ不等式だけが残ります。

$- 4 > - 7$ は常に真。したがって、すべての実数。

8. $2 (x + 1) \leq 2 x - 3$

問8の答えを見る

考え方：両辺から $2 x$ を引くと文字が消え、成り立たない不等式が残ります。

$2 \leq - 3$ は偽。したがって、解なし。

まとめ

不等式の解は、条件を満たす実数の範囲として表す。
負の数を掛けたり割ったりすると、不等号の向きが逆になる。
$<, >$ の端点は○、 $\leq, \geq$ の端点は●で数直線に表せる。
$x$ が消えた場合は、残った不等式が常に真か偽かを判断する。

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x<4 は、4より左のすべての数