第1章数と式｜第12節

絶対値

$| x |$ は、数直線上で $x$ と0の距離を表します。まず具体的な数で距離を見てから、文字を含む絶対値へ広げます。

20〜25分｜絶対値・距離・場合分け

前の節から

ここまでは数を式として扱ってきました。絶対値では、数を数直線上の位置と距離として見ます。

まず考えてみよう

| x - 3 | = 2

は、「

x

と3の距離が2」という意味です。数直線上のどの2点が当てはまるでしょうか。

中心

3

→

答え

x = 1, 5

絶対値の意味

$| x |$ は0からの距離

3と $- 3$ は符号が違いますが、どちらも0から3だけ離れています。

この距離を式で表すと、

x \geq 0 \Rightarrow | x | = x

x < 0 \Rightarrow | x | = - x

となります。距離なので、絶対値の値は必ず0以上です。

2点間の距離

$| a - b |$

数直線上の2点 $a$ 、 $b$ の距離は $| a - b |$ で表せます。

| a - b | = | b - a |

絶対値を外す

中身が正か負かで式が変わる

$| 2 x - 4 |$ を考えます。中身 $2 x - 4$ が0になるのは $x = 2$ です。

$x \geq 2$

| 2 x - 4 | = 2 x - 4

$x < 2$

| 2 x - 4 | = - (2 x - 4) = - 2 x + 4

例題

$| x + 3 |$ を場合分けする

例題 1絶対値を外して表す。

中身が0になるのは $x = - 3$ です。

x \geq - 3 \Rightarrow | x + 3 | = x + 3

x < - 3 \Rightarrow | x + 3 | = - x - 3

距離から方程式を読む

$| x - 5 | = 3$

これは「 $x$ と5の距離が3」という意味です。5から左へ3、右へ3進んだ2点が解になります。

x = 2, 8

第15節では、この距離の考え方を「等しい」だけでなく「より近い」「より遠い」へ広げます。

基本性質

距離として見ると分かること

| - x | = | x |

| x | = 0 \Leftrightarrow x = 0

$x$ と $- x$ は原点から同じ距離にあり、原点からの距離が0になる点は原点だけだからです。

練習問題

距離と場合分けを使う

1. $| - 8 |$

問1の答えを見る

考え方：絶対値は0からの距離なので、 $- 8$ と0の距離を答えます。

2. $x = - 2$ のとき $| x - 4 |$

問2の答えを見る

考え方： $x = - 2$ を先に代入すると、中身は $- 6$ になります。その絶対値を取ります。

3. 数直線上の2と $- 5$ の距離。

問3の答えを見る

考え方：2点間の距離は差の絶対値で表せます。

$| 2 - (- 5) | = 7$

4. $| x - 1 |$ を場合分けして表す。

問4の答えを見る

考え方：中身 $x - 1$ が0になる $x = 1$ を境に、正の場合と負の場合へ分けます。

$x \geq 1$ なら $x - 1$ 、 $x < 1$ なら $- x + 1$ 。

5. $| a - b |$ と $| b - a |$ の大小関係。

問5の答えを見る

考え方： $b - a = - (a - b)$ であり、符号が反対の数の絶対値は等しくなります。

常に等しい。

6. $| x - 5 | = 3$

問6の答えを見る

考え方：5からの距離が3になる点を、5の左右に一つずつ取ります。

$x = 2, 8$

7. $| 3 x + 6 |$ を場合分けして表す。

問7の答えを見る

考え方：中身 $3 x + 6$ が0になる $x = - 2$ を境に、正の場合と負の場合へ分けます。

$x \geq - 2$ なら $3 x + 6$ 、 $x < - 2$ なら $- 3 x - 6$ 。

まとめ

$| x |$ は、数直線上で $x$ と0の距離。
$| a - b |$ は、2点 $a$ 、 $b$ の距離。
絶対値を外すときは、中身が0以上か負かで場合分けする。
絶対値方程式は、数直線上の距離として読むことができる。

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|x| は0からの距離

|a−b|