第1章数と式｜第14節

連立不等式

2つの不等式をそれぞれ解き、数直線で範囲を重ねます。両方を満たす部分が、連立不等式の解です。

25〜30分｜共通範囲・端点・解なし・整数解

前の節から

一つの不等式の解を数直線で表せるようになったら、二つの範囲を重ねて共通部分を求めます。

まず考えてみよう

x > 2

と

x \leq 5

を両方満たす範囲はどこでしょうか。

二つの範囲

x > 2

x \leq 5

→

2 < x \leq 5

共通する部分

基本

2つの範囲を重ねる

次の2つの不等式を同時に満たす $x$ の範囲を求めます。

2 x - 5 \leq 7, 3 x + 1 > - 5

別々に解くと、

x \leq 6, x > - 2

2つの範囲を同じ数直線の上に高さを変えて表し、重なる範囲を斜線で示します。

①と②の高さを変えて同じ数直線に描き、共通部分を斜線で示します。

- 2 < x \leq 6

端点

○と●は「その値を含むか」を表す

端点を含まないときは○から斜めに、含むときは●から垂直に立ち上げて範囲を示します。

同じ向きの不等式

$x > 2$ と $x > 5$

「大きい」が2つ並ぶとき、数字の大きい方だけを選ぶのではありません。どちらの条件にも入っている部分を取ります。

両方に入るのは

x

> 5

。斜線の共通部分を答えとして読みます。

たとえば $x = 3$ は①を満たしますが②を満たしません。 $x = 6$ なら①と②の両方を満たします。

解なし

2つの範囲が重ならない場合

$x \leq 1$ と $x > 3$ を同時に満たす実数はありません。

二つの範囲が離れているため、解はありません。

例題

計算してから共通部分を取る

例題 $1 - 2 x < 5$ 、 $3 x + 4 \leq 13$ を同時に満たす範囲を求める。

1 - 2 x < 5 \Rightarrow x > - 2

3 x + 4 \leq 13 \Rightarrow x \leq 3

両方を満たす部分を取ると、

- 2 < x \leq 3

1つにつながった不等式

$1 < 2 x + 3 \leq 7$

これは2つの条件を同時に表しています。3つの部分すべてから3を引き、正の数2で割ります。

1 < 2 x + 3 \leq 7

- 2 < 2 x \leq 4

- 1 < x \leq 2

整数解

範囲を出してから整数だけを拾う

$- 2 < x \leq 4$ を満たす整数は、

- 1, 0, 1, 2, 3, 4

の6個です。端点を含むかどうかで個数が変わるので、○と●を確認します。

練習問題

共通部分を求める

1. $x > 1$ 、 $x \leq 5$

問1の答えを見る

考え方：二つの範囲を数直線上で重ね、1より大きく5以下の共通部分を取ります。

$1 < x \leq 5$

2. $2 x + 1 \geq 5$ 、 $x - 3 < 2$

問2の答えを見る

考え方：それぞれを解くと $x \geq 2$ と $x < 5$ になるので、その共通部分を取ります。

$2 \leq x < 5$

3. $- x > 2$ 、 $3 x \geq 0$

問3の答えを見る

考え方：一方は $- 2$ より左、もう一方は0以上なので、共通部分がありません。

$x < - 2$ と $x \geq 0$ は重ならないので、解なし。

4. $- 1 < x \leq 4$ を満たす整数をすべて求める。

問4の答えを見る

考え方： $- 1$ より大きく4以下の整数を、左端から順に拾います。

0, 1, 2, 3, 4

5. $x > 2$ 、 $x > 5$

問5の答えを見る

考え方： $x > 5$ は $x > 2$ に含まれるため、より狭い $x > 5$ が共通部分です。

$x > 5$

まとめ

まず、それぞれの不等式を解く。
数直線で範囲を重ね、両方に入る共通部分を取る。
$<, >$ は○、 $\leq, \geq$ は●。
共通部分がなければ解なし。

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