第2章集合と命題｜第20節

必要条件・十分条件

2つの条件の間にどちら向きの「ならば」が成り立つかを調べると、必要条件・十分条件を判断できます。

25〜35分｜必要条件・十分条件・必要十分条件・反例

前の節から

命題の真偽を判定できたら、「ならば」がどちら向きに成り立つかを必要条件・十分条件の言葉で表します。

まず考えてみよう

整数

n

について、

p

：「4の倍数」、

q

：「偶数」とします。

p \Rightarrow q

と

q \Rightarrow p

のどちらが成り立つでしょうか。

p \Rightarrow q

$p$ は $q$ の十分条件

→

p \Rightarrow q

$q$ は $p$ の必要条件

必要条件と十分条件

$p \Rightarrow q$ が成り立つとき

2つの条件 $p$ 、 $q$ について、命題

p \Rightarrow q

が真であるとします。このとき、 $p$ は $q$ であるための十分条件、 $q$ は $p$ であるための必要条件といいます。

$p \Rightarrow q$ が真

p

は

q

の十分条件

q

は

p

の必要条件

たとえば実数 $x$ について、

p ： x = 2 q ： x^{2} = 4

$x = 2$ ならば $x^{2} = 4$ なので、 $p \Rightarrow q$ は真です。したがって、 $x = 2$ は $x^{2} = 4$ であるための十分条件です。

一方、 $x^{2} = 4$ なら $x = \pm 2$ です。 $x = - 2$ の場合があるので、 $q \Rightarrow p$ は偽です。

この例の結論

$x = 2$ は $x^{2} = 4$ の十分条件ですが、必要条件ではありません。

必要十分条件

両方向が成り立つ場合

$p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ がどちらも真なら、 $p$ と $q$ は互いに必要十分条件です。この関係を

p \Leftrightarrow q

と書きます。

例実数 $x$ について

p ： x = 0 q ： x^{2} = 0

$x = 0$ なら $x^{2} = 0$ であり、 $x^{2} = 0$ なら $x = 0$ です。

x = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 0

したがって、2つの条件は必要十分条件です。

必要条件・十分条件の問題では、 $p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ を別々に調べます。成り立たない向きは、反例を1つ挙げれば否定できます。

2つの命題の真偽と、 $p$ の位置づけを整理すると次のようになります。

$p \Rightarrow q$

$q \Rightarrow p$

$p$ は $q$ の

真

偽

十分条件だが、必要条件ではない

偽

真

必要条件だが、十分条件ではない

真

必要十分条件

偽

必要条件でも十分条件でもない

集合との関係

条件を満たす範囲で考える

条件 $p$ を満たすもの全体を $P$ 、条件 $q$ を満たすもの全体を $Q$ とします。

$p \Rightarrow q$ が真であることは、「 $p$ を満たすものはすべて $q$ も満たす」ということなので、

P \subset Q

となります。

たとえば、実数 $x$ について

p ： x > 3 q ： x > 0

なら、 $x$ $> 3$ を満たす範囲は $x$ $> 0$ を満たす範囲に含まれます。したがって、 $x$ $> 3$ は $x$ $> 0$ の十分条件です。

例題

2つの向きを調べる

例題 1倍数の条件

整数 $n$ について、

p

：

n

は12の倍数　　

q

：

n

は4の倍数

とする。 $p$ は $q$ の何条件か。

12の倍数は必ず4の倍数なので、 $p \Rightarrow q$ は真です。

逆は成り立ちません。たとえば $n = 4$ は4の倍数ですが12の倍数ではありません。

したがって、 $p$ は $q$ の十分条件ですが、必要条件ではありません。

例題 2方程式を解いてから判断する

実数 $x$ について、

p ： x^{2} - 5 x + 6 = 0 q ： x = 2

とする。 $p$ は $q$ の何条件か。

$p$ の方程式を因数分解すると、

(x - 2) (x - 3) = 0

x = 2 ， 3

よって $p \Rightarrow q$ は偽です。 $x = 3$ が反例になります。

一方、 $x = 2$ なら $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ を満たすので、 $q \Rightarrow p$ は真です。

したがって、 $p$ は $q$ の必要条件ですが、十分条件ではありません。

例題 32文字の条件

実数 $x$ ， $y$ について、

p ： x^{2} + y^{2} = 0 q ： x = 0

かつ

y = 0

とする。 $p$ と $q$ の関係を答えよ。

実数では $x^{2} \geq 0$ 、 $y^{2} \geq 0$ です。その和が0になるには、 $x^{2} = y^{2} = 0$ 、すなわち $x = y = 0$ でなければなりません。したがって $p \Rightarrow q$ は真です。

また、 $x = y = 0$ なら $x^{2} + y^{2} = 0$ なので $q \Rightarrow p$ も真です。

よって、 $p$ と $q$ は必要十分条件です。

文字を含む条件

集合の包含関係から文字の範囲を求める

標準十分条件となる $a$ の範囲

実数 $x$ について、

p ： x > a q ： x > 3

とする。 $p$ が $q$ の十分条件となるような実数 $a$ の範囲を求めよ。

$p$ が $q$ の十分条件であるためには、

x > a \Rightarrow x > 3

が常に成り立つ必要があります。集合で見ると、

{x ｜ x > a} \subset {x ｜ x > 3}

となればよいので、境界 $a$ は3以上でなければなりません。

a \geq 3

したがって、答えは $a \geq 3$ です。

練習問題

必要・十分・必要十分を判定する

1. 実数 $x$ について、 $p$ ： $x = 1$ 、 $q$ ： $x^{2} = 1$ 。 $p$ は $q$ の何条件か。

問1の答えを見る

考え方： $p \Rightarrow q$ は成り立ちますが、 $q \Rightarrow p$ は $x = - 1$ で成り立たないため、十分条件だけです。

十分条件ですが、必要条件ではありません。 $q \Rightarrow p$ は $x = - 1$ が反例です。

2. 実数 $x$ について、 $p$ ： $| x | = 2$ 、 $q$ ： $x^{2} = 4$ 。 $p$ と $q$ の関係を答えてください。

問2の答えを見る

考え方：どちらの条件も $x = 2$ または $x = - 2$ を表すので、両方向の命題が成り立ちます。

必要十分条件。どちらも $x = \pm 2$ を表します。

3. 整数 $n$ について、 $p$ ： $n$ は6の倍数、 $q$ ： $n$ は3の倍数。 $p$ は $q$ の何条件か。

問3の答えを見る

考え方：6の倍数は必ず3の倍数ですが、3の倍数が必ず6の倍数とは限りません。

十分条件ですが、必要条件ではありません。逆は $n = 3$ が反例です。

4. 実数 $x$ について、 $p$ ： $x$ $> 0$ 、 $q$ ： $x$ $< 2$ 。 $p$ は $q$ の何条件か。

問4の答えを見る

考え方： $p \Rightarrow q$ には $x = 3$ 、 $q \Rightarrow p$ には $x = - 1$ という反例があるため、どちら向きも成り立ちません。

必要条件でも十分条件でもありません。 $p \Rightarrow q$ は $x = 3$ 、 $q \Rightarrow p$ は $x = - 1$ が反例です。

5. 実数 $x$ ， $y$ について、 $p$ ： $x = y$ 、 $q$ ： $x^{2} = y^{2}$ 。 $p$ は $q$ の何条件か。

問5の答えを見る

考え方： $x = y$ なら平方も等しいですが、平方が等しくても符号が反対の場合があります。

十分条件ですが、必要条件ではありません。 $q \Rightarrow p$ は $x = 1$ ， $y = - 1$ が反例です。

6. 実数 $x$ について、 $p$ ： $x^{2}$ $< 1$ 、 $q$ ： $x$ $< 1$ 。 $p$ は $q$ の何条件か。

問6の答えを見る

考え方： $x^{2} < 1$ は $- 1 < x < 1$ を意味するので $x < 1$ は従いますが、逆には反例があります。

十分条件ですが、必要条件ではありません。 $x^{2}$ $< 1$ なら $- 1$ $<$ $x$ $< 1$ なので $x$ $< 1$ 。逆は $x = - 2$ が反例です。

7. 実数 $x$ について、 $p$ ： $x$ $>$ $a$ 、 $q$ ： $x$ $> 5$ とする。 $p$ が $q$ の十分条件となる $a$ の範囲を求めてください。

問7の答えを見る

考え方： $p$ を満たす範囲が $q$ を満たす範囲に含まれるよう、二つの境界 $a$ と5を比べます。

$a \geq 5$ 。{ $x$ ｜ $x$ $> a}$ が { $x$ ｜ $x$ $> 5}$ に含まれればよい。

まとめ