第2章集合と命題｜第22節

逆・裏・対偶

命題 $p \Rightarrow q$ から、条件の順序や否定を変えて逆・裏・対偶を作ります。元の命題と常に同値なのは対偶です。

20〜25分｜逆・裏・対偶

前の節から

命題と否定を組み合わせると、元の命題から逆・裏・対偶の三つを作れます。

まず考えてみよう

p \Rightarrow q

から作る逆・裏・対偶では、条件の順序と否定がどう変わるでしょうか。

元の命題

p \Rightarrow q

逆

q \Rightarrow p

（順序を入れ替える）

裏

\overline{p} \Rightarrow \overline{q}

（両方を否定する）

対偶

\overline{q} \Rightarrow \overline{p}

（入れ替えて否定する）

三つの命題

$p \Rightarrow q$ から作る

名称

命題

逆

q \Rightarrow p

裏

\overline{p}

\Rightarrow

\overline{q}

対偶

\overline{q}

\Rightarrow

\overline{p}

逆は条件を入れ替え、裏は両方を否定し、対偶は入れ替えて両方を否定します。

具体例

「4の倍数なら偶数」

整数 $n$ について、

p

：

n

は4の倍数　

q

：

n

は偶数

元の命題

4の倍数なら偶数。

逆

偶数なら4の倍数。

裏

4の倍数でないなら偶数でない。

対偶

偶数でないなら4の倍数でない。

真偽の関係

元の命題と対偶は同値

常に同じ真偽になる組

p \Rightarrow q

と

\overline{q}

\Rightarrow

\overline{p}

q \Rightarrow p

と

\overline{p}

\Rightarrow

\overline{q}

したがって、元の命題が真なら対偶も真です。一方、逆は元の命題と同じ真偽になるとは限りません。

例題

例題「 $x$ $> 2$ なら $x^{2}$ $> 4$ 」の逆・裏・対偶を作る。

$p$ ： $x$ $> 2$ 、 $q$ ： $x^{2}$ $> 4$ とします。

逆： $x^{2}$ $> 4$ なら $x$ $> 2$

裏： $x \leq 2$ なら $x^{2} \leq 4$

対偶： $x^{2} \leq 4$ なら $x \leq 2$

実数では元の命題は真ですが、逆は $x = - 3$ が反例なので偽です。

逆は別の命題

元が真でも逆が真とは限らない

$p \Rightarrow q$ が真であることから $q \Rightarrow p$ は結論できません。逆の真偽は別に調べます。

たとえば「6の倍数なら3の倍数」は真ですが、「3の倍数なら6の倍数」は $n = 3$ が反例です。

一方、対偶 $\overline{q}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$ は元の命題と同値なので、元の真偽が分かれば対偶の真偽も決まります。

例題2

真偽まで判定する

例題整数 $n$ について「 $n$ が6の倍数なら $n$ は3の倍数」

元：真。

逆「3の倍数なら6の倍数」： $n = 3$ が反例なので偽。

裏「6の倍数でないなら3の倍数でない」：逆と同値なので偽。

対偶「3の倍数でないなら6の倍数でない」：元と同値なので真。

練習問題

1. $p \Rightarrow q$ の逆を記号で書く。

問1の答えを見る

考え方：仮定と結論の順序だけを入れ替えます。

$q \Rightarrow p$

2. $p \Rightarrow q$ の裏を記号で書く。

問2の答えを見る

考え方：仮定と結論をどちらも否定し、順序は変えません。

$\overline{p}$ $\Rightarrow$ $\overline{q}$

3. $p \Rightarrow q$ の対偶を記号で書く。

問3の答えを見る

考え方：仮定と結論を入れ替えたうえで、どちらも否定します。

$\overline{q}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$

4. 「 $n$ が6の倍数なら $n$ は3の倍数」の対偶。

問4の答えを見る

考え方：結論「3の倍数」の否定を仮定に、仮定「6の倍数」の否定を結論に置きます。

$n$ が3の倍数でないなら、 $n$ は6の倍数でない。

5. 元の命題と常に真偽が一致するのは逆・裏・対偶のどれか。

問5の答えを見る

考え方：元の命題と対偶は論理的に同値なので、常に真偽が一致します。

対偶。

6. 元の命題が偽なら、その対偶の真偽はどうなるか。

問6の答えを見る

考え方：元の命題と対偶は同値なので、元が偽なら対偶も偽です。

偽。元と対偶は同値。

7. 逆が真なら裏の真偽はどうなるか。

問7の答えを見る

考え方：逆と裏は互いに対偶の関係にあるため、真偽が一致します。

真。逆と裏は同値。

まとめ

逆： $q \Rightarrow p$ 、裏： $\overline{p}$ $\Rightarrow$ $\overline{q}$ 、対偶： $\overline{q}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$ 。
元の命題と対偶は常に同値。
逆と裏も互いに同値。

前後の節

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p⇒q から作る

「4の倍数なら偶数」

元の命題と対偶は同値

元が真でも逆が真とは限らない

真偽まで判定する

$p \Rightarrow q$ から作る