第1章数と式｜第9節

実数とは何か

数にはいくつかの種類があります。有理数・無理数を、小数表示との関係まで含めて整理します。

15〜20分｜有理数・無理数・有限小数・循環小数

この節の入り口

式の計算で扱う数を整理すると、根号や循環小数がどの種類の数なのか判断しやすくなります。

まず考えてみよう

- 3

、

\frac{2}{5}

、

\sqrt{2}

は、それぞれ整数・有理数・無理数のどこに入るでしょうか。

自然数

\subset

整数

\subset

有理数

\subset

実数

無理数も実数です

実数は、有理数と無理数に分かれます。有理数でない実数が無理数です。

数の分類

整数・有理数・無理数

整数 $m$ と 0 でない整数 $n$ を使って $\frac{m}{n}$ と表せる数を有理数といいます。

\frac{1}{2}, - 7, 0.125, 0.333 \dots

有理数でない実数を無理数といいます。

\sqrt{2}, \sqrt{3}, π

根号が付いていても無理数とは限りません。

\sqrt{4} = 2

、

\sqrt{9} = 3

なので、これらは有理数です。

小数表示

有理数は有限小数か循環小数になる

\frac{1}{8} = 0.125

\frac{1}{3} = 0.333 \dots

0.333… のように同じ並びが繰り返される小数を循環小数といいます。逆に、有限小数や循環小数は分数で表せるので有理数です。

循環小数を分数にする

0.272727… を分数で表す

x = 0.272727 \dots

100 x = 27.272727 \dots

辺々を引くと、

99 x = 27

x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

例題

例題次の数を有理数と無理数に分ける。

$- 3, \sqrt{7}, \sqrt{16}, 0.121212$ … $, π - 3$

有理数： $- 3$ 、 $\sqrt{16} = 4$ 、0.121212…

無理数： $\sqrt{7}$ 、 $π - 3$

数の包含関係

自然数から実数まで

自然数は整数に含まれ、整数は有理数に含まれます。有理数と無理数を合わせたものが実数です。

自然数

\subset

整数

\subset

有理数

\subset

実数

無理数は有理数には含まれませんが、どちらも実数です。

循環しない無限小数

無理数の小数表示

$\sqrt{2} = 1.4142135$ … のように、無限に続いて同じ並びが周期的に繰り返されない小数は有理数ではありません。

「無限小数だから無理数」ではありません。 $\frac{1}{3} = 0.333 \dots$ のような循環小数は有理数です。

例題2

循環小数を分数に直す

例題0.123123123… を分数で表す。

$x = 0.123123123$ … と置くと、

1000 x = 123.123123 \dots

引き算して $999 x = 123$ 。

x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}

練習問題

1. $\sqrt{25}$ は有理数か、無理数か。

問1の答えを見る

考え方： $\sqrt{25}$ は5なので整数です。整数は有理数に含まれます。

有理数。 $\sqrt{25} = 5$ 。

2. 0.375 を分数で表す。

問2の答えを見る

考え方：小数を1000倍して $\frac{375}{1000}$ とし、分子と分母を125で割ります。

$\frac{3}{8}$

3. 0.454545… を分数で表す。

問3の答えを見る

考え方： $x = 0.454545$ …とおき、 $100 x - x$ を計算すると $99 x = 45$ になります。

$\frac{5}{11}$

4. $\frac{\sqrt{18}}{3}$ は有理数か、無理数か。

問4の答えを見る

考え方： $\sqrt{18}$ を $3 \sqrt{2}$ に直して3で割ると $\sqrt{2}$ が残ります。 $\sqrt{2}$ は無理数です。

$\frac{\sqrt{18}}{3} = \sqrt{2}$ なので無理数。

5. 有限小数は必ず有理数か。

問5の答えを見る

考え方：有限小数は10の累乗を分母にもつ分数に直せるため、必ず有理数です。

はい。10の累乗を分母とする分数で表せます。

6. 0.101001000100001… は有限小数・循環小数・そのどちらでもない無限小数のどれか。

問6の答えを見る

考え方：0の個数が毎回増えるため、同じ数字の並びが一定周期で繰り返されません。

そのどちらでもない無限小数。周期的に繰り返していません。

7. $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ は有理数か、無理数か。

問7の答えを見る

考え方：根号どうしの商を一つの根号にまとめると $\sqrt{4}$ になり、整数2になります。

$\sqrt{4} = 2$ なので有理数。

まとめ

整数の比で表せる実数が有理数。
有理数でない実数が無理数。
有理数の小数表示は有限小数または循環小数。

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