第2章集合と命題｜第21節

条件の否定

条件や命題の否定は、元の内容が成り立たない場合を正確に表します。不等号や「かつ・または」の否定を整理します。

20〜25分｜否定・ド・モルガンの法則

前の節から

条件同士の関係を正しく調べるには、その条件が成り立たない場合を表す「否定」が必要です。

まず考えてみよう

条件

x > 3

の否定は

x < 3

でしょうか。境界の

x = 3

も元の条件を満たさないことに注意します。

元の条件

x > 3

否定

x \leq 3

境界の3を含みます

否定

「 $p$ ではない」を表す

条件 $p$ の否定を $\overline{p}$ と書きます。たとえば、

p ： x > 3

の否定は、

\overline{p} ： x \leq 3

です。 $x$ $< 3$ ではなく、 $x = 3$ も含めます。

不等号の否定

境界を含むかどうかが変わる

基本

x

>

a

の否定：

x \leq a

x \geq a

の否定：

x

<

a

x

<

a

の否定：

x \geq a

x \leq a

の否定：

x

>

a

かつ・または

ド・モルガンの法則

\overline{p かつ q} \Leftrightarrow \overline{p} または \overline{q}

\overline{p または q} \Leftrightarrow \overline{p} かつ \overline{q}

例題

範囲の否定

例題1 $1 <$ $x \leq 4$ の否定

元の条件は「 $x$ $> 1$ かつ $x \leq 4$ 」です。

x \leq 1 または x > 4

例題2 $x \leq - 2$ または $x$ $> 3$ の否定

- 2 < x \leq 3

「すべて」と「ある」

量を表す言葉の否定

「すべての実数 $x$ について $P (x)$ が成り立つ」の否定は、「 $P (x)$ が成り立たない実数 $x$ が少なくとも一つある」です。

逆に「 $P (x)$ を満たす実数 $x$ が存在する」の否定は、「どの実数 $x$ も $P (x)$ を満たさない」です。

集合との関係

否定は補集合に対応する

条件 $p$ を満たすもの全体を $P$ とすると、 $\overline{p}$ を満たすもの全体は $P$ の補集合です。

たとえば全体集合を実数全体とし、 $p$ ： $1 <$ $x \leq 4$ とすると、 $p$ の範囲の外側が否定になります。

\overline{p} ： x \leq 1 または x > 4

例題3

二つの条件を含む否定

例題 「 $x$ $> 1$ かつ $x \leq 5$ 」の否定

x \leq 1 または x > 5

練習問題

1. $x \geq 5$ の否定

問1の答えを見る

考え方： $x \geq 5$ に含まれない範囲をすべて取ると、5を含まない $x < 5$ になります。

$x$ $< 5$

2. $- 1 \leq x$ $< 3$ の否定

問2の答えを見る

考え方：元の区間の左外側と右外側を取り、各境界を含むかも反転させます。

$x$ $<$ $- 1$ または $x \geq 3$

3. 「 $x$ $> 0$ かつ $y$ $> 0$ 」の否定

問3の答えを見る

考え方：「両方とも正」でないのは、少なくとも一方が0以下の場合です。

$x \leq 0$ または $y \leq 0$

4. 「 $x = 1$ または $x = 2$ 」の否定

問4の答えを見る

考え方：「1または2」のどちらでもないため、二つの不一致を「かつ」で結びます。

$x \neq 1$ かつ $x \neq 2$

5. 「すべての整数 $n$ について $n^{2} \geq 0$ 」の否定を文で表す。

問5の答えを見る

考え方：「すべて成り立つ」の否定は、「成り立たないものが少なくとも一つある」です。

$n^{2}$ $< 0$ となる整数 $n$ が少なくとも一つ存在する。

6. 「ある実数 $x$ について $x^{2} = - 1$ 」の否定。

問6の答えを見る

考え方：「ある実数で成り立つ」の否定は、「すべての実数で成り立たない」です。

すべての実数 $x$ について $x^{2} \neq - 1$ 。

7. 「 $x$ $< 0$ または $y \geq 2$ 」の否定。

問7の答えを見る

考え方：「または」の否定なので二条件をそれぞれ否定し、「かつ」で結びます。

$x \geq 0$ かつ $y$ $< 2$ 。

まとめ

不等号の否定では等号を含むかどうかも変わる。
「かつ」の否定は「または」、「または」の否定は「かつ」。
「すべて」の否定は「成り立たないものが存在する」。

前後の節

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「pではない」を表す

境界を含むかどうかが変わる

ド・モルガンの法則

範囲の否定

量を表す言葉の否定

否定は補集合に対応する

二つの条件を含む否定

「 $p$ ではない」を表す