第3章二次関数｜第26節

放物線の平行移動

$y = x^{2}$ を右や左、上や下へ平行移動したとき、式がどう変わるかを調べます。まず頂点の移動を見て、一般の $y = f (x)$ の場合まで扱います。

35〜45分｜平行移動・頂点・軸・変数置換

まず考えてみよう

y = {(x - 2)}^{2}

は、なぜ「右に2」なのでしょうか。式には「

- 2

」とあるのに、向きは右です。

$x - 2 = 0$ となるのは $x = 2$ です。ここで2乗部分が0になり、頂点の $x$ 座標が2になります。

基本形

横は括弧の中、縦は式の外

y = a {(x - p)}^{2} + q

頂点と軸
頂点

(p, q)

、軸

x = p

。

y = a x^{2}

を右へ

p

、上へ

q

だけ動かした形です。

$y = {(x - 3)}^{2}$

頂点 $(3, 0)$ → 右へ3

$y = {(x + 3)}^{2}$

$x - (- 3)$ と見て頂点 $(- 3, 0)$ → 左へ3

平行移動では係数 $a$ は変わりません。放物線の形を保ったまま、位置だけが変わります。

破線の

y = x^{2}

を右へ2、上へ1動かすと、頂点は

(2, 1)

になります。

例題

頂点形式から読む

例題1 $y = - 2 {(x + 3)}^{2} + 5$

頂点 $(- 3, 5)$ 、軸 $x = - 3$ 。 $a$ $< 0$ なので上に凸。

例題2 $y = {(x - 4)}^{2} - 2$ は $y = x^{2}$ からどう動いたか

右へ4、下へ2。頂点 $(4, - 2)$ 。

一般の放物線

$y = f (x)$ の平行移動

$f (x)$ は、 $x$ を使った式をひとまとめに表す記号です。たとえば $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ なら、 $f (x - 3)$ は式のすべての $x$ を $x - 3$ に置き換えたものです。

グラフ $y = f (x)$ を $x$ 方向に $p$ 、 $y$ 方向に $q$ だけ平行移動すると、移動後の点 $(x, y)$ は、移動前では $(x - p, y - q)$ に対応します。

y - q = f (x - p)

式で符号が逆になる理由

移動後の座標から移動量を引くと、移動前の座標に戻ります。そのため右へ $p$ 移動した場合は $x - p$ 、上へ $q$ 移動した場合は $y - q$ を元の式に入れます。

例題：一般形を動かす

一般形を指定量だけ平行移動する

例題3 $y = x^{2} + 2 x - 1$ を右へ3、下へ2

右へ3なので $x$ を $x - 3$ に、下へ2なので $y + 2$ を元の $y$ に対応させます。

y + 2

=

{(x - 3)}^{2} + 2 (x - 3) - 1

y + 2

=

x^{2} - 4 x + 2

y

=

x^{2} - 4 x

移動後は $y = x^{2} - 4 x$ 。

頂点でも確かめる（次節へのつながり）

一般形を頂点が読める形に直す「平方完成」は次節で学びます。ここでは、下の括弧を展開すると元の式に戻ることを確かめてください。

元の式は $y = {(x + 1)}^{2} - 2$ なので頂点は $(- 1, - 2)$ 。右3・下2の移動後は $(2, - 4)$ です。求めた式 $y = {(x - 2)}^{2} - 4$ の頂点と一致します。

方法の選び方

条件に合う方法を選ぶ

移動量を求める

まず二次の係数が同じかを確認します。頂点が読める形なら、移動後の頂点から移動前の頂点を引きます。一般形から頂点を求める方法は次節で学びます。

移動後の式を求める

$y - q = f (x - p)$ を使って置き換えます。

注意

$x - p$ の $p$ は頂点の $x$ 座標

括弧の中を0にする

$x - p = 0$ となるのは $x = p$ です。したがって $y = a {(x - p)}^{2} + q$ の頂点は $(p, q)$ です。

練習問題

1. $y = {(x - 5)}^{2}$ の頂点。

答え

$(5, 0)$

2. $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ の頂点と軸。

答え

頂点 $(- 2, 3)$ 、軸 $x = - 2$

3. $y = - {(x - 1)}^{2} - 4$ のグラフは下に凸・上に凸のどちらか。

答え

上に凸。

4. $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ は $y = 2 x^{2}$ をどう移動したものか。

答え

右へ3、上へ1。

5. 頂点が $(4, - 2)$ 、 $a = 1$ の式。

答え

$y = {(x - 4)}^{2} - 2$

6. 頂点が $(- 1, 3)$ 、 $a = - 2$ の式。

答え

$y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$

7. $y = 3 {(x + 4)}^{2}$ の軸。

答え

$x = - 4$

8. $y = - {(x - 2)}^{2} + 7$ の頂点。

答え

$(2, 7)$

9. $y = x^{2} - 4 x + 1$ を右へ2、上へ3動かした式。

答え

考え方：右へ2なので $x - 2$ を元の式のすべての $x$ に入れ、上へ3なので式全体に3を足します。

$y = {(x - 2)}^{2} - 4 (x - 2) + 4 = x^{2} - 8 x + 16$

10. $y = 2 x^{2} + 1$ を左へ1、下へ4動かした式。

答え

考え方：左へ1では $x + 1$ に置き換え、下へ4では式全体から4を引きます。定数部分は $1 - 4 = - 3$ です。

$y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$

この節のまとめ

平行移動の要点

$y = a {(x - p)}^{2} + q$ の頂点は $(p, q)$ 、軸は $x = p$ 。
一般に $y = f (x)$ を $(p, q)$ だけ移動すると $y - q = f (x - p)$ 。
平行移動では二次の係数 $a$ は変わりません。
移動量を求めるときは頂点の差、移動後の式を求めるときは変数の置き換えを使えます。

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