第3章二次関数｜第25節

二次関数とは何か

式だけを見るのではなく、「 $x$ を決めると $y$ が決まる」という対応から二次関数を捉えます。値表を点に変え、 $y = x^{2}$ の放物線までつなげます。

25〜35分｜関数・二次関数・放物線・軸・頂点

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ここまでは、式や条件をどう読み、どう変形し、どう証明するかを学んできました。ここからは、一つの量が変わると、もう一つの量がどう変わるかを式とグラフで見ます。

まず考えてみよう

正方形の一辺を

x

cm

とします。面積を

y

{cm}^{2}

とすると、

x

が 1, 2, 3 と増えたとき、

y

はどのように増えるでしょうか。「一定の割合で増える」と言えるでしょうか。

一辺

x

1234

面積

y

14916

一辺を2倍にすると面積は2倍ではなく4倍になります。一次関数とは違う増え方です。

関数

$x$ を決めると、 $y$ がただ一つ決まる

$x$ の値を一つ決めると、それに対応する $y$ の値がただ一つ決まるとき、 $y$ は $x$ の関数であるといいます。

関数になる

y = x^{2}

$x = 2$ なら $y = 4$ と一つに決まります。

関数にならない対応

同じ $x$ に対して、 $y$ を二つ以上勝手に選べる対応。

「 $x$ を決めても $y$ が一つに決まらない」なら関数ではありません。

二次関数

$y$ が $x$ の二次式で表される関数

数学Iで扱う二次関数は、一般に

y = a x^{2} + b x + c

の形で表されます。ただし、

a \neq 0

です。 $a$ が0なら二次の項が消え、二次関数ではなくなるからです。

二次関数

y = a x^{2} + b x + c

　（

a \neq 0

）

二次関数

$y = 2 x^{2} - 3 x + 1$

二次関数ではない

$y = 2 x + 1$

最も基本の形

まず $y = x^{2}$ を調べる

二次関数のグラフを理解するには、最も基本的な $y = x^{2}$ から始めます。いきなり曲線を暗記せず、値表から点を打ちます。

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3
$y = x^{2}$	9	4	1	0	1	4	9

$x$ と $- x$ を入れると同じ値になります。たとえば、

{(- 2)}^{2} = 2^{2} = 4

なので、グラフは $y$ 軸をはさんで左右対称になります。

値表の7点だけでなく、その間や外側にも点があり、グラフは両側へ続きます。それらを滑らかにつないだ曲線が放物線です。頂点は

(0, 0)

、軸は

x = 0

です。

放物線の言葉

頂点と軸を押さえる

頂点

放物線とその軸との交点です。グラフの向きが切り替わる中心でもあります。

y = x^{2}

では $(0, 0)$

軸

放物線を左右対称に分ける直線です。

y = x^{2}

では $x = 0$ （ $y$ 軸）

「軸」は直線です

頂点は点 $(0, 0)$ 、軸は直線 $x = 0$ です。二つを混同しないようにします。

係数

a

の働き

$y = a x^{2}$ では、符号と大きさを見る

$y = a x^{2}$ のグラフは、どれも原点を頂点とする放物線です。ただし $a$ によって凸の向きと広がり方が変わります。

$a$ $> 0$

下に凸です。

例： $y = x^{2}, y = 2 x^{2}$

$a$ $< 0$

上に凸です。

例： $y = - x^{2}, y = - 2 x^{2}$

$| a |$ の大きさ

| a |

が大きいほど細く、0に近いほど広い放物線になります。

同じ座標の目盛りで重ねています。すべて頂点は原点です。

| a |

が大きいほど放物線は細く、

| a |

が小さいほど広くなります。

例題

式・値・グラフをつなぐ

例題1二次関数かどうかを判断する

次のうち、 $y$ が $x$ の二次関数であるものを選びます。

y = 3 x^{2} - 2

y = 3 x - 2

考え方： $x^{2}$ の係数が0ではない式かを見ます。

$y = 3 x^{2} - 2$ が二次関数です。

例題2 $y = - 2 x^{2}$ で $x = - 3$ のときの $y$

負の数を代入するときは括弧を付けます。

y

=

- 2 {(- 3)}^{2}

=

- 18

$y = - 18$

よくある誤解

$- x^{2}$ と ${(- x)}^{2}$ は違う

$- x^{2}$

- x^{2}

先に2乗し、その結果にマイナスを付けます。

${(- x)}^{2}$

{(- x)}^{2}

$- x$ 全体を2乗するので $x^{2}$ と同じです。

たとえば $x = 2$ なら、

- 2^{2} = - 4

{(- 2)}^{2} = 4

練習問題

1. $y = 5 x^{2} + 1$ は二次関数ですか。

問1の答えを見る

考え方： $x^{2}$ の係数5は0ではありません。

二次関数です。

2. $y = - 3 x + 4$ は二次関数ですか。

問2の答えを見る

考え方： $x^{2}$ の項がありません。

二次関数ではありません。

3. $y = x^{2}$ で $x = - 4$ のときの $y$ を求めます。

問3の答えを見る

考え方： $(- 4)$ 全体を2乗します。

$y = 16$

4. $y = - x^{2}$ で $x = 3$ のときの $y$ を求めます。

問4の答えを見る

考え方： $3^{2} = 9$ のあとでマイナスを付けます。

$y = - 9$

5. $y = x^{2}$ の頂点と軸を答えます。

問5の答えを見る

考え方：グラフは原点で最も低くなり、 $y$ 軸について左右対称です。

頂点 $(0, 0)$ 、軸 $x = 0$

6. $y = - 2 x^{2}$ のグラフは下に凸・上に凸のどちらですか。

問6の答えを見る

考え方： $x^{2}$ の係数 $a = - 2$ は負です。

上に凸です。

7. $y = \frac{1}{2} x^{2}$ と $y = 3 x^{2}$ では、どちらが細い放物線ですか。

問7の答えを見る

考え方： $| a |$ が大きいほど、同じ $x$ で $| y |$ が大きくなります。

$y = 3 x^{2}$ の方が細い。

8. $y = a x^{2}$ が二次関数であるために $a$ に必要な条件を答えます。

問8の答えを見る

考え方： $a = 0$ では $x^{2}$ の項が消えます。

$a \neq 0$

この節のまとめ

式・表・グラフは同じ関数を見ている

$x$ を決めると $y$ がただ一つ決まるとき、 $y$ は $x$ の関数です。
二次関数は $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）の形で表されます。
$y = x^{2}$ のグラフは、頂点 $(0, 0)$ 、軸 $x = 0$ の放物線です。
$y = a x^{2}$ では $a$ の符号が凸の向き、 $| a |$ が広がり方を決めます。

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次は、放物線を左右・上下に動かしたとき、式がどう変わるかを調べます。

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xを決めると、yがただ一つ決まる

yがxの二次式で表される関数

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