第3章二次関数｜第27節

平方完成

$y = x^{2} - 6 x + 5$ を、頂点が読み取れる形に変形します。式の値を変えずに平方の形を作るのが平方完成です。

35〜45分｜平方完成・一般形・分数係数・頂点

まず考えてみよう

平方完成で「

x

の係数を半分にする」のはなぜでしょうか。

{(x + r)}^{2} = x^{2} + 2 r x + r^{2}

展開すると $x$ の係数は $2 r$ です。したがって、もとの $x$ の係数の半分が括弧の中の数になります。

基本

足した分を引いて平方を作る

$x^{2} - 6 x$ では $- 6$ の半分は $- 3$ です。 ${(x - 3)}^{2}$ を作るために9を足し、同じ9を引きます。

y

=

x^{2} - 6 x + 5

=

(x^{2} - 6 x + 9) - 9 + 5

=

{(x - 3)}^{2} - 4

頂点 $(3, - 4)$ 、軸 $x = 3$

1. $x^{2}$ の係数をそろえる

$a \neq 1$ なら $x^{2}$ と $x$ の部分から $a$ をくくる。

2. $x$ の係数を半分

括弧の中の数を決める。

3. 補正する

足した平方分を引いて式の値を保つ。

a \neq 1

の場合

外の $a$ まで含めて補正する

y = 2 x^{2} + 8 x - 1

y

=

2 (x^{2} + 4 x) - 1

=

2 {{(x + 2)}^{2} - 4} - 1

=

2 {(x + 2)}^{2} - 9

頂点 $(- 2, - 9)$ 、軸 $x = - 2$

外の係数に注意

括弧内の「 $- 4$ 」は全体では $2 \times (- 4) = - 8$ です。外の $a$ を掛け忘れると、定数項と頂点の $y$ 座標が変わってしまいます。

分数が出る場合

半分が分数でも操作は同じ

y = 2 x^{2} - 3 x + 1

y

=

2 (x^{2} - \frac{3 x}{2}) + 1

=

2 {{(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{16}} + 1

=

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

頂点 $(\frac{3}{4}, \frac{- 1}{8})$ 、軸 $x = \frac{3}{4}$

2をくくると、括弧内の $x$ の係数は $\frac{- 3}{2}$ です。その半分 $\frac{- 3}{4}$ を使って平方を作ります。

一般形

頂点の $x$ 座標は $\frac{- b}{(2 a)}$

一般の $a x^{2} + b x + c$ も同じように平方完成できます。

y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4 a}

よって軸は $x = - \frac{b}{2 a}$ です。この形は最大・最小や判別式を考えるときにも使います。

一般式も平方完成から得られる

$- \frac{b}{2 a}$ は別に導入された規則ではなく、上の平方完成で現れる頂点の $x$ 座標です。

グラフへ

平方完成すると頂点と軸が読める

平方完成した形から、頂点

(3, - 4)

と軸

x = 3

をそのまま読み取れます。

例題

係数や符号が変わる場合

例題1 $y = x^{2} + 4 x - 5$

$y = {(x + 2)}^{2} - 9$ 。

頂点 $(- 2, - 9)$

例題2 $y = - 2 x^{2} + 8 x + 1$

先に $- 2$ をくくります。括弧の中で引く4にも、外の $- 2$ が掛かります。

y

=

- 2 (x^{2} - 4 x) + 1

=

- 2 {{(x - 2)}^{2} - 4} + 1

=

- 2 {(x - 2)}^{2} + 8 + 1

=

- 2 {(x - 2)}^{2} + 9

頂点 $(2, 9)$ 、上に凸。

例題3 $y = 3 x^{2} + x - 2$

y

=

3 (x^{2} + \frac{x}{3}) - 2

=

3 {{(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}} - 2

=

3 {(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{25}{12}

頂点 $(\frac{- 1}{6}, \frac{- 25}{12})$

注意

$x$ の係数を半分にするのは、 $a$ をくくった後

2 x^{2} - 3 x

の場合

まず $2 (x^{2} - \frac{3 x}{2})$ とします。平方を作るときに半分にするのは、括弧内の係数 $\frac{- 3}{2}$ です。

練習問題

1. $y = x^{2} + 6 x + 2$ を平方完成。

答え

$y = {(x + 3)}^{2} - 7$

2. $y = x^{2} - 8 x + 1$ の頂点。

答え

$(4, - 15)$

3. $y = 2 x^{2} - 4 x + 3$ を平方完成。

答え

$y = 2 {(x - 1)}^{2} + 1$

4. $y = - x^{2} - 6 x - 2$ の頂点。

答え

考え方： $y = - (x^{2} + 6 x) - 2 = - {(x + 3)}^{2} + 7$ と直します。外の負号を補正する数にも掛けます。

$(- 3, 7)$

5. $y = 3 x^{2} + 12 x + 5$ の軸。

答え

$x = - 2$

6. $y = - 2 x^{2} + 4 x - 1$ を頂点形式に。

答え

考え方： $- 2$ をくくると括弧内は $x^{2} - 2 x$ です。 ${(x - 1)}^{2} - 1$ に直し、定数は $(- 2) \times (- 1) - 1 = 1$ になります。

$y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 1$

7. $y = 4 x^{2} - 8 x + 7$ の頂点。

答え

$(1, 3)$

8. $x^{2} + 10 x$ を平方にするため足す数。

答え

9. $y = 2 x^{2} + x$ を平方完成。

答え

考え方：2をくくると括弧内の一次の係数は $\frac{1}{2}$ 、その半分は $\frac{1}{4}$ です。平方を作ると増える定数 $2 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$ を引きます。

$y = 2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

10. $y = - 3 x^{2} + 2 x + 1$ の軸。

答え

$x = \frac{1}{3}$

この節のまとめ

平方完成の要点

${(x + r)}^{2}$ の中項は $2 r x$ なので、 $x$ の係数の半分を使います。
$a \neq 1$ なら先に $x^{2}$ と $x$ の部分から $a$ をくくります。
半分が分数でも操作は同じです。
$a {(x - p)}^{2} + q$ まで変形すれば、頂点 $(p, q)$ と軸 $x = p$ を読めます。

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