第3章二次関数｜第30節

二次関数の決定

頂点、軸、 $x$ 軸との交点など、与えられた条件によって使いやすい式の形が変わります。条件を式に直接反映できる形を選んで係数を決めます。

35〜45分｜頂点・軸・

x

軸との交点・3点・式の決定

まず考えてみよう

頂点が

(2, - 3)

で、点

(4, 5)

を通る放物線があります。この条件から式を求めるには、どの形で置くとよいでしょうか。

頂点が分かっているので、 $y = a {(x - 2)}^{2} - 3$ と置けます。決める係数は $a$ だけです。

条件と式の形

与えられた情報を、そのまま式に入れられる形を選ぶ

頂点＋ 1点頂点形式。未知数は $a$ だけ

2つの零点＋ 1点因数形。未知数は $a$ だけ

3点一般形。未知数 $a, b, c$ を3条件で決める

頂点なら頂点形式、零点なら因数形、3点なら一般形を使うと、未知数を最小限にできます。

形を選ぶ

条件が直接表れる形を使う

頂点

(p, q)

y = a {(x - p)}^{2} + q

x

軸との交点

α, β

y = a (x - α) (x - β)

3点のみ

y = a x^{2} + b x + c

式の選び方
頂点なら頂点形式、

x

軸との2交点なら因数形、3点だけなら一般形を使います。求めた係数について

a \neq 0

も確認します。

頂点＋1点

頂点形式を使う

頂点 $(2, - 3)$ 、点 $(4, 5)$ を通る場合、

y

=

a {(x - 2)}^{2} - 3

5

=

a {(4 - 2)}^{2} - 3

8

=

4 a

$a = 2$ 、したがって $y = 2 {(x - 2)}^{2} - 3$

軸＋2点

軸から頂点の $x$ 座標が分かる

軸が $x = 2$ で、点 $(1, 5)$ 、 $(4, 14)$ を通る放物線を求めます。

y

=

a {(x - 2)}^{2} + q

(1, 5)

\to

a + q = 5

(4, 14)

\to

4 a + q = 14

2式の差から $3 a = 9$ なので $a = 3$ 、 $q = 2$ 。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} + 2$

軸だけでは

q

は決まらない

軸 $x = 2$ から分かるのは頂点の $x$ 座標です。 $a$ と $q$ は、与えられた2点を代入して求めます。

x

軸との交点＋1点

交点が分かるときは因数形

$x$ 軸と $x = 1, 3$ で交わり、点 $(0, 3)$ を通るとします。

y

=

a (x - 1) (x - 3)

3

=

a (- 1) (- 3)

$a = 1$ 、 $y = (x - 1) (x - 3)$

$x = 1, 3$ で $y = 0$ になることが、因数形にそのまま表れています。

3点から

一般形に3点を代入する

点 $(0, 1), (1, 0), (2, 3)$ を通るとします。

x = 0

\to

c = 1

x = 1

\to

a + b + c = 0

x = 2

\to

4 a + 2 b + c = 3

$c = 1$ を代入して連立すると $a = 2, b = - 3$ 。

$y = 2 x^{2} - 3 x + 1$

式の選び方

条件に応じて形を決める

頂点・軸がある

頂点形式を使う。

$x$ 軸との交点がある

因数形を使う。

3点が与えられる

一般形で連立する。

検算

与えられた条件に戻して確かめる

点・頂点・交点を確認する

求めた式に与えられた点を代入し、頂点、軸、 $x$ 軸との交点が条件と一致するか確認します。 $a = 0$ なら二次関数にならないので、その点も確認します。

例題

条件別に式を決める

例題1頂点 $(- 1, 2)$ 、点 $(1, - 6)$

$y = a {(x + 1)}^{2} + 2$ 。点 $(1, - 6)$ より $- 6 = 4 a + 2$ 。

$a = - 2$ 、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 2$

例題2軸 $x = - 1$ 、点 $(0, 4), (1, 10)$

$y = a {(x + 1)}^{2} + q$ 。 $a + q = 4$ 、 $4 a + q = 10$ 。

$a = 2, q = 2$ 、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 2$

例題3 $x$ 軸と $x = 1, 3$ で交わり、 $(0, 3)$ を通る

$y = (x - 1) (x - 3)$

注意

条件に合わない形を使うと未知数が増える

頂点が分かる場合

頂点 $(p, q)$ が与えられていれば、 $y = a {(x - p)}^{2} + q$ と置けます。一般形から始めるより、決める係数が少なくなります。

練習問題

1. 頂点 $(1, 2)$ 、 $(3, 10)$ を通る式。

答え

$y = 2 {(x - 1)}^{2} + 2$

2. 頂点 $(- 2, 5)$ 、 $(0, 1)$ を通る式。

答え

$y = - {(x + 2)}^{2} + 5$

3. $x$ 軸と $x = - 1, 4$ で交わり、 $(0, 4)$ を通る。

答え

$y = - (x + 1) (x - 4)$

4. $x$ 軸と $x = 2, 5$ で交わり、 $(1, 8)$ を通る。

答え

$y = 2 (x - 2) (x - 5)$

5. $(0, 2), (1, 0), (2, 0)$ を通る式。

答え

$y = x^{2} - 3 x + 2$

6. $(0, 1), (1, 2), (- 1, 4)$ を通る式。

答え

$y = 2 x^{2} - x + 1$

7. 軸 $x = 2$ で、 $(1, 3), (2, 1)$ を通る式。

答え

$y = 2 {(x - 2)}^{2} + 1$

8. 頂点 $(0, - 3)$ 、 $(2, 5)$ を通る式。

答え

$y = 2 x^{2} - 3$

9. 軸 $x = 1$ で、 $(0, 4), (3, 10)$ を通る式。

答え

$y = 2 {(x - 1)}^{2} + 2$

10. $x$ 軸と $x = - 2, 1$ で交わり、 $(2, 8)$ を通る式。

答え

$y = 2 (x + 2) (x - 1)$

この節のまとめ

条件と式の形

頂点・軸が分かるなら頂点形式。
$x$ 軸との交点が分かるなら因数形。
3点だけなら一般形で連立。
求めた式は、与えられた条件を代入して確かめます。

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与えられた情報を、そのまま式に入れられる形を選ぶ

条件が直接表れる形を使う

頂点形式を使う

軸から頂点のx座標が分かる

交点が分かるときは因数形

一般形に3点を代入する

条件に応じて形を決める

与えられた条件に戻して確かめる

条件別に式を決める

条件に合わない形を使うと未知数が増える

条件と式の形

軸から頂点の $x$ 座標が分かる