第3章二次関数｜第31節

二次方程式と判別式

二次方程式を「解く」だけでなく、解かずに実数解の個数を判定できるのが判別式です。平方根の中身が何を意味するのかまで確認します。

30〜40分｜因数分解・解の公式・判別式

まず考えてみよう

x^{2} - 4 x + 5 = 0

は実数の範囲で解けるでしょうか。実際に解を最後まで計算しなくても判断できます。

二次方程式

まず使える解法を選ぶ

二次方程式を $a x^{2} + b x + c = 0$ と表します。 $a, b, c$ は実数で、 $a \neq 0$ とします。

因数分解できる

積 $= 0$ を使う

(x - 2) (x - 3) = 0

平方の形になる

平方根を使う

{(x - 1)}^{2} = 4

一般の場合

解の公式を使う

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

判別式

平方根の中身だけを見る

D = b^{2} - 4 a c

解の公式で実数解が存在するかどうかは、平方根 $\sqrt{D}$ が実数になるかで決まります。

$D$ $> 0$

異なる2つの実数解

$D = 0$

重解1つ

$D$ $< 0$

実数解なし

意味

判別式は「解の個数」を先に教える

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$ では $a = 1, b = - 4, c = 5$ 。

D = {(- 4)}^{2} - 4 \times 1 \times 5 = - 4

$D$ $< 0$ なので実数解なし。

3つの場合

$D$ の符号と解の姿

$D > 0$ ｜異なる2実数解

\sqrt{D} = 4

。解の公式から

x = \pm 2

。

$D = 0$ ｜重解

\sqrt{D} = 0

→ 2つの解が一致し、

x

軸に接する

$D < 0$ ｜実数解なし

\sqrt{D}

は実数にならない → 交点は0

判別式の符号は、二次方程式の実数解が2個・1個・0個のどれかを表します。

例題

$D$ を計算するときは $b$ の符号に注意

例題1 $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

$D = {(- 3)}^{2} - 4 \times 2 \times (- 2) = 25$ $> 0$ 。

異なる2つの実数解をもつ。

例題2 $x^{2} + 6 x + 9 = 0$

$D = 36 - 36 = 0$ 。

重解をもち、 $x = - 3$ 。

よくある誤解

$D = 0$ は「解がない」ではない

同じ解が2回出る

平方根部分が0になるため、 $\pm$ で分かれず同じ値になります。これを重解といいます。

練習問題

1. $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ の実数解の個数。

答え

2個（ $D = 1$ $> 0$ ）

2. $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ の実数解の個数。

答え

1個の重解（ $D = 0$ ）

3. $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ の実数解の個数。

答え

実数解なし（ $D = - 16$ ）

4. $2 x^{2} + x - 3 = 0$ の $D$ 。

答え

5. $3 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ の解。

答え

$x = 1$ （重解）

6. $x^{2} + 4 x + k = 0$ が重解をもつ $k$ 。

答え

重解をもつ条件は $D = 0$ です。 $D = 16 - 4 k = 0$ を解きます。

$k = 4$

7. $x^{2} - 2 x + k = 0$ が異なる2実数解をもつ条件。

答え

異なる2実数解をもつ条件は $D > 0$ です。 $D = 4 - 4 k > 0$ を解きます。

$k$ $< 1$

8. $2 x^{2} + 4 x + k = 0$ が実数解をもたない条件。

答え

実数解をもたない条件は $D < 0$ です。 $D = 16 - 8 k < 0$ を解きます。

$k$ $> 2$

この節のまとめ

$D$ は解の公式の根号の中身

$D = b^{2} - 4 a c$ 。
$D$ $> 0$ なら異なる2実数解。
$D = 0$ なら重解。
$D$ $< 0$ なら実数解なし。
$b$ が負のときは括弧を付けて2乗します。

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まず使える解法を選ぶ

平方根の中身だけを見る

判別式は「解の個数」を先に教える

Dの符号と解の姿

Dを計算するときはbの符号に注意

D=0は「解がない」ではない

Dは解の公式の根号の中身

$D$ の符号と解の姿

$D$ を計算するときは $b$ の符号に注意

$D = 0$ は「解がない」ではない

$D$ は解の公式の根号の中身