第3章二次関数｜第32節

グラフと $x$ 軸の共有点

方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の実数解は、放物線と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標です。共有点の座標と判別式の関係を確認します。

30〜40分｜共有点・実数解・解の公式・判別式

まず考えてみよう

y = x^{2} - 5 x + 6

のグラフが

x

軸と交わる

x

座標は、方程式

x^{2} - 5 x + 6 = 0

の解と同じでしょうか。

$x$ 軸上では $y = 0$ です。したがって、共有点の $x$ 座標を求めることと二次方程式を解くことは同じです。

基本対応

共有点では $y = 0$

y = a x^{2} + b x + c

$x$ 軸との共有点では $y = 0$ なので、

a x^{2} + b x + c = 0

を解きます。解が $x = α, β$ なら共有点は $(α, 0), (β, 0)$ です。

解と共有点

方程式の解は $x$ の値です。共有点を求める問題では、 $y = 0$ を付けて座標で答えます。

因数分解できる場合

0になる $x$ を直接読む

y = x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

共有点は $(2, 0), (3, 0)$

因数分解できない場合

解の公式を使う

$y = x^{2} - 2 x - 1$ は整数で因数分解できません。

0

=

x^{2} - 2 x - 1

x

=

\frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}

=

1 \pm \sqrt{2}

共有点は $(1 - \sqrt{2}, 0), (1 + \sqrt{2}, 0)$

整数で因数分解できなくても、二次方程式に実数解があればグラフは $x$ 軸と交わります。

判別式

$D$ で共有点の個数が分かる

$D$ $> 0$

$x$ 軸と異なる2点で交わる

$D = 0$

$x$ 軸に1点で接する

$D$ $< 0$

$x$ 軸と共有点をもたない

D

から分かるのは個数

共有点の座標まで求めるには、因数分解や解の公式で $x$ の値を求めます。

判別式は個数を、方程式の解は共有点の

x

座標を与えます。共有点として答えるときは

y = 0

を付けます。

頂点から判断

下に凸なら頂点の高さでも分かる

頂点が $x$ 軸より下

2点で交わる → $D$ $> 0$

頂点が $x$ 軸上

1点で接する → $D = 0$

頂点が $x$ 軸より上

共有点なし → $D$ $< 0$

上に凸の場合

上下を反転して考えます。

方法の選び方

個数と座標で方法を使い分ける

共有点の個数

$D = b^{2} - 4 a c$ を調べる。

共有点の座標

因数分解できれば因数分解、できなければ解の公式。

例題

共有点の個数と座標

例題1 $y = 2 x^{2} - 4 x - 3$ の共有点の個数

$D = {(- 4)}^{2} - 4 \times 2 \times (- 3) = 40$ $> 0$ 。

$x$ 軸と異なる2点で交わる。

例題2 $y = x^{2} + 4 x + 4$ の共有点

$y = {(x + 2)}^{2}$ なので $x = - 2$ 。

共有点は $(- 2, 0)$ の1点。

例題3 $y = 2 x^{2} + x - 1$ の共有点

$(2 x - 1) (x + 1) = 0$ 。

共有点 $(\frac{1}{2}, 0), (- 1, 0)$

注意

$D = 0$ では $x$ 軸に接する

重解と接点

放物線が $x$ 軸に接すると共有点は1点です。その $x$ 座標が二次方程式の重解になります。

練習問題

1. $y = x^{2} - 3 x + 2$ の $x$ 軸との共有点。

答え

$(1, 0), (2, 0)$

2. $y = x^{2} - 6 x + 9$ の共有点。

答え

$(3, 0)$ の1点

3. $y = x^{2} + 2 x + 5$ の共有点の個数。

答え

0個

4. $y = 2 x^{2} + x - 1$ の共有点。

答え

$(\frac{1}{2}, 0), (- 1, 0)$

5. $y = - x^{2} + 4 x - 4$ はどこで $x$ 軸に接するか。

答え

$(2, 0)$

6. $y = x^{2} + k$ が $x$ 軸と2点で交わる $k$ の条件。

答え

$k$ $< 0$

7. $y = x^{2} - 2 x + k$ が $x$ 軸に接する $k$ 。

答え

$k = 1$

8. $y = 2 x^{2} - 4 x + k$ が $x$ 軸と共有点をもたない条件。

答え

$k$ $> 2$

9. $y = x^{2} - 4 x + 1$ の共有点。

答え

$(2 - \sqrt{3}, 0), (2 + \sqrt{3}, 0)$

10. $y = 3 x^{2} - 2 x - 2$ の共有点の個数。

答え

2個（ $D = 28$ $> 0$ ）

この節のまとめ

実数解と $x$ 軸との共有点

$x$ 軸上では $y = 0$ 。
因数分解できれば共有点の $x$ 座標を直接求められます。
因数分解できない場合は解の公式を使います。
$D$ $> 0$ なら2点、 $D = 0$ なら接する1点、 $D$ $< 0$ なら0点。
共有点を聞かれたら座標で答えます。

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共有点では y=0

0になるxを直接読む