第3章二次関数｜第33節

二次不等式

二次不等式 $f (x) > 0$ は、放物線 $y = f (x)$ が $x$ 軸より上にある範囲を求める問題です。根の個数と放物線の向きから符号を判断します。

40〜50分｜符号・判別式・解の範囲・グラフ

まず考えてみよう

x^{2} - 5 x + 6 > 0

を満たす

x

は、放物線

y = x^{2} - 5 x + 6

のどこを見れば分かるでしょうか。

式が正になるのは $y$ $> 0$ の部分、つまりグラフが $x$ 軸より上にある範囲です。

解き方

境界と放物線の向きを確認する

1. $f (x) = 0$ を解く

$x$ 軸との共有点を求めます。

2. $a$ の符号を見る

下に凸か、上に凸かを確認します。

3. 符号を読む

$x$ 軸より上なら正、下なら負です。

等号の有無

$>, <$ では $f (x) = 0$ となる境界を含みません。 $\geq, \leq$ では境界も解に含めます。

D

> 0

境界が2と3の例

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ の解は2,3です。放物線は下に凸なので、 $x$ 軸より上にあるのは2より左と3より右です。

$x$ $< 2$

$f (x)$ $> 0$

$2 <$ $x$ $< 3$

$f (x)$ $< 0$

$x$ $> 3$

$f (x)$ $> 0$

$x^{2} - 5 x + 6$ $> 0$ の解は $x$ $< 2$ または $x$ $> 3$

グラフ上の交点は放物線に含まれるので塗り点、厳密不等式の解に端点を含めないことは下段の数直線上の白丸で表します。

一般の場合

$a$ $> 0$ で2つの実数解を $α$ $<$ $β$ とすると、 $f (x)$ $> 0$ は $x$ $<$ $α$ または $x$ $>$ $β$ 、 $f (x)$ $< 0$ は $α$ $<$ $x$ $<$ $β$ です。

a

< 0

上に凸では正負が逆になる

$- x^{2} + 5 x - 6 > 0$ の境界も $x = 2, 3$ ですが、放物線は上に凸です。そのため、 $x$ 軸より上にあるのは2つの根の間です。

$2 <$ $x$ $< 3$

両辺を $- 1$ 倍して $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ として解くこともできます。このとき不等号の向きが逆になります。

解の公式を使う場合

境界が無理数でも考え方は同じ

$x^{2} - 2 x - 1 < 0$ の境界は、

x = 1 \pm \sqrt{2}

です。 $a$ $> 0$ なので、負になるのは2つの根の間です。

$1 - \sqrt{2}$ $<$ $x$ $<$ $1 + \sqrt{2}$

因数分解できない場合

$f (x) = 0$ を解の公式で解いて境界を求めれば、その後は放物線の位置から符号を判断できます。

D = 0

$x$ 軸に1点で接する場合

$a$ $> 0$ で $f (x) = a {(x - α)}^{2}$ なら、 $x = α$ で0、それ以外では正です。

$f (x)$ $> 0$

$x \neq α$

$f (x) \geq 0$

すべての実数

$f (x)$ $< 0$

解なし

$f (x) \leq 0$

$x = α$

$a$ $< 0$ では正と負が逆になります。

D

< 0

$x$ 軸と交わらない場合

実数解がない放物線は $x$ 軸と交わらないため、符号は全域で一定です。

$a$ $> 0, D < 0$

常に $f (x)$ $> 0$ 。

$f (x)$ $>$ $0, f (x) \geq 0$ → すべての実数

$f (x)$ $<$ $0, f (x) \leq 0$ → 解なし

$a$ $< 0, D < 0$

常に $f (x)$ $< 0$ 。

$f (x)$ $<$ $0, f (x) \leq 0$ → すべての実数

$f (x)$ $>$ $0, f (x) \geq 0$ → 解なし

判別式

$D$ と境界の個数

$D$ $> 0$

境界2つ。3区間に分ける。

$D = 0$

境界1つ。接点だけ0。

$D$ $< 0$

境界なし。符号は全域で一定。

$D$ から $x$ 軸との共有点の個数を確認し、 $a$ の符号と合わせて各範囲の正負を決めます。

例題

$D$ $> 0$ 、 $D = 0$ 、 $D$ $< 0$ の例

例題1 $x^{2} - x - 6 \leq 0$

$(x - 3) (x + 2) \leq 0$ 。境界は $- 2, 3$ 。下に凸なので0以下は内側。

$- 2 \leq x \leq 3$

例題2 $- x^{2} + 4 x - 3$ $> 0$

境界は1,3。上に凸なので正は内側。

$1 <$ $x$ $< 3$

例題3 $x^{2} - 4 x + 4$ $> 0$

${(x - 2)}^{2}$ $> 0$ 。 $x = 2$ でだけ0、それ以外で正。

$x \neq 2$

例題4 $x^{2} + 2 x + 5 \leq 0$

$D = 4 - 20 = - 16$ $< 0$ 、 $a$ $> 0$ なので常に正。

解なし

注意

「外側・内側」は $a$ と根の個数で変わる

D

> 0

、

a

> 0

の場合

この場合は正が2つの根の外側、負が内側です。 $a$ $< 0$ では逆になり、 $D = 0$ や $D$ $< 0$ では区間の分かれ方も変わります。

練習問題

1. $x^{2} - 4 x + 3$ $> 0$ 。

答え

$x$ $< 1$ または $x$ $> 3$

2. $x^{2} - 4 x + 3 \leq 0$ 。

答え

$1 \leq x \leq 3$

3. $- x^{2} + 5 x - 6 \geq 0$ 。

答え

$2 \leq x \leq 3$

4. $x^{2} + 2 x + 5$ $> 0$ 。

答え

すべての実数

5. $x^{2} + 2 x + 5$ $< 0$ 。

答え

解なし

6. ${(x - 2)}^{2} \leq 0$ 。

答え

$x = 2$

7. $- {(x + 1)}^{2}$ $< 0$ 。

答え

$x \neq - 1$

8. $2 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0$ 。

答え

$x \leq \frac{1}{2}$ または $x \geq 2$

9. $x^{2} - 2 x - 1$ $< 0$ 。

答え

$1 - \sqrt{2}$ $<$ $x$ $<$ $1 + \sqrt{2}$

10. $- x^{2} - 2 x - 5 \geq 0$ 。

答え

解なし（ $D$ $< 0$ 、常に負）

この節のまとめ