第3章二次関数｜第45節

絶対値と二次関数

関数値に絶対値を付けると、 $x$ 軸より下にある部分だけが上へ折り返されます。この変形を使うと、絶対値方程式の解の個数をグラフで数えられます。

応用｜ 40〜50分｜絶対値・グラフ変形・解の個数

まず考えてみよう

y = | x^{2} - 4 |

は、元の

y = x^{2} - 4

からどう変わるでしょうか。

たとえば $x = 0$ では、元の関数値は $- 4$ ですが、絶対値を付けると $4$ になります。正の関数値と $0$ は変わりません。

グラフ変形

$x$ 軸より下だけを反転する

まず、 $x^{2} - 4$ が負になる範囲を調べます。

$x$ の範囲	絶対値を外した式
$x \leq - 2$ または $2 \leq x$	$\| x^{2} - 4 \| = x^{2} - 4$
$- 2 < x < 2$	$\| x^{2} - 4 \| = 4 - x^{2}$

外側の部分はそのまま残し、 $- 2 < x < 2$ の部分だけを $x$ 軸について折り返します。

灰色の破線は元の負の部分です。折り返した後も

y

軸対称です。

元の頂点 $(0, - 4)$ は $(0, 4)$ へ移ります。 $x = - 2, 2$ では関数値が $0$ なので、 $x$ 軸との共有点は動きません。関数値が $0$ となる $x$ の値を零点といいます。

解の個数

水平線との共有点を数える

$| x^{2} - 4 | = k$ の解は、 $y = | x^{2} - 4 |$ と水平線 $y = k$ の共有点の $x$ 座標です。したがって、異なる共有点の個数が、そのまま異なる実数解の個数になります。

内側の山の頂点は高さ $4$ にあります。まず、その高さより低い $k = 2$ と、ちょうど同じ高さの $k = 4$ を比べましょう。

k = 2

では、外側に2個、内側に2個、合わせて4個の共有点があります。

k = 4

では、内側の2個が

x = 0

の1個に重なり、外側の2個と合わせて3個になります。

水平線が $x$ 軸より下にあると共有点はありません。 $k = 0$ では零点の2個、 $k > 4$ では外側の2個だけです。

$k$ の範囲	異なる実数解の個数
$k < 0$	0個
$k = 0$	2個（零点を1回ずつ数える）
$0 < k < 4$	4個
$k = 4$	3個（中央の点は1個）
$k > 4$	2個

$k = 0$ のとき、 $x^{2} - 4 = 0$ と $x^{2} - 4 = - 0$ は同じ式です。 $x = - 2, 2$ は一度ずつ数えます。

例題

式で解く方法とも一致する

$k > 0$ なら、 $| A | = k$ は $A = k$ または $A = - k$ です。 $k = 0$ なら $A = 0$ だけを考えます。

例題1 $| x^{2} - 4 | = 3$ を解く。

絶対値の中は $3$ または $- 3$ なので、 $x^{2} - 4 = 3$ または $x^{2} - 4 = - 3$ です。

それぞれ $x^{2} = 7$ 、 $x^{2} = 1$ となるので、

$x = \pm \sqrt{7}, \pm 1$

異なる解は4個です。 $0 < 3 < 4$ の場合のグラフと一致します。

例題2 $| x^{2} - 4 | = 4$ の解の個数を求める。

$x^{2} - 4 = 4$ または $x^{2} - 4 = - 4$ より、 $x^{2} = 8$ または $x^{2} = 0$ です。

解を並べると、 $x = - 2 \sqrt{2}, 0, 2 \sqrt{2}$ です。

異なる解は3個。

$x^{2} = 0$ の解は $x = 0$ の1個です。図の中央の共有点に対応します。

よくある誤解

グラフ全体を

x

軸対称にしない

反転するのは元のグラフで関数値が負の部分だけです。正の部分と $x$ 軸上の点はそのまま残ります。

練習問題

1. $| x^{2} - 1 |$ の零点を求めよ。

答えを見る

$x = \pm 1$

絶対値が $0$ になるのは、中の式が $0$ のときです。 $x^{2} - 1 = 0$ より求まります。

2. 負の関数値に絶対値を付けると？

答えを見る

符号が反転して正になる。

グラフでは、 $x$ 軸から同じ距離の上側の点へ移します。

3. $| x^{2} - 4 | = 1$ の解の個数を求めよ。

答えを見る

4個。

$x^{2} = 5$ または $x^{2} = 3$ より、解は $x = \pm \sqrt{5}, \pm \sqrt{3}$ です。

4. $| x^{2} - 4 | = 5$ の解の個数を求めよ。

答えを見る

2個。

$x^{2} = 9$ または $x^{2} = - 1$ です。後者には実数解がなく、解は $x = \pm 3$ だけです。

5. $| x^{2} - 4 | = 0$ の解の個数を求めよ。

答えを見る

2個。

$x^{2} - 4 = 0$ より、解は $x = \pm 2$ です。同じ式に分かれるので重複して数えません。

6. $| x^{2} - 4 | = 4$ の解の個数を求めよ。

答えを見る

3個。

解は $x = - 2 \sqrt{2}, 0, 2 \sqrt{2}$ です。 $x = 0$ は1個と数えます。

7. $| A | = k$ の絶対値の外し方を、 $k > 0$ と $k = 0$ に分けて答えよ。

答えを見る

$k > 0$ なら、 $A = k$ または $A = - k$ 。

$k = 0$ なら、2つの式は同じ $A = 0$ です。

8. グラフで解の個数を数えるとき、何との共有点を見るか。

答えを見る

水平線 $y = k$ との共有点。

各共有点の $x$ 座標が方程式の解を表します。

まとめ

$x$ 軸の下だけを折り返す

$y = | f (x) |$ は、負の部分だけを $x$ 軸について折り返す。
$| A | = k$ は、 $k > 0$ なら $A = k$ または $A = - k$ 。 $k = 0$ では同じ式になる。
解の個数は水平線との共有点の個数。高さの境目では重なった点を1個と数える。

x軸より下だけを反転する

水平線との共有点を数える

式で解く方法とも一致する

x軸の下だけを折り返す

$x$ 軸より下だけを反転する

$x$ 軸の下だけを折り返す