第3章二次関数｜第46節

二変数・置換と最大最小

二つの文字が自由に動けるのか、条件式で結ばれているのかを確かめます。平方完成・文字の消去・置換を使い、最大値や最小値をとる元の変数まで求めましょう。

応用｜ 40〜50分｜二変数・消去・置換

まず考えてみよう

実数

x, y

が

x + y = 6

を満たすとき、

x^{2} + y^{2}

の最小値は

0

でしょうか。

$x^{2} + y^{2} = 0$ には $x = y = 0$ が必要ですが、それでは和が $6$ になりません。まず、条件を満たす値を確かめましょう。

独立な二変数

二つの平方を同時にゼロにする

まず、 $x$ と $y$ が互いに関係なく、すべての実数をとれる場合を考えます。次のように二つの文字の項が分かれていれば、それぞれ平方完成できます。

例題1条件式のない最小値

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 8$ の最小値と、そのときの $x, y$ を求めます。

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 8

=

(x^{2} - 2 x) + (y^{2} + 4 y) + 8

=

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + 3

二つの平方はどちらも $0$ 以上です。 $x = 1, y = - 2$ なら、両方を同時に $0$ にできます。

最小値は $3$ 。 $x = 1, y = - 2$ のときです。

$x y$ の項を含む式では、 $x$ の項と $y$ の項を単純に分けられません。一方の文字に着目して平方完成し、残る式も整理します。どの場合も、平方を同時に $0$ にできるかが大切です。

条件式による消去

和の条件で一方の文字を消す

冒頭の $x + y = 6$ に戻ります。 $y = 6 - x$ を代入すると、 $x$ だけの二次式になります。

x^{2} + y^{2}

=

x^{2} + {(6 - x)}^{2}

=

2 x^{2} - 12 x + 36

=

2 {(x - 3)}^{2} + 18

平方の項が $0$ になるのは $x = 3$ 。条件式に戻すと $y = 6 - 3 = 3$ です。

$x = y = 3$ のとき、最小値 $18$ をとります。

この問題には符号や区間の制限がないので、 $x$ はすべての実数をとれます。符号条件がある問題では、消去した文字の条件も移します。

定義域のある最大・最小

消去した文字の条件も残す

例題2和が一定の二数の積

非負の実数 $x, y$ が $x + y = 10$ を満たすとき、 $x y$ の最大値・最小値と、そのときの $x, y$ を求めます。

範囲を求める

$y = 10 - x$ とおきます。 $y \geq 0$ より $10 - x \geq 0$ 、すなわち $x \leq 10$ 。 $x \geq 0$ と合わせて、

0 \leq x \leq 10

一変数の二次関数に直す

積を $z = x y$ とおくと、

z

=

x (10 - x)

=

- x^{2} + 10 x

=

- {(x - 5)}^{2} + 25

次の図は横軸が $x$ 、縦軸が積 $z$ です。範囲内の頂点と両端を比べます。

0 \leq x \leq 10

の部分を描いています。頂点は最も高く、両端では積が

0

になります。

元の変数に戻す

$x = 5$ では $y = 10 - 5 = 5$ 。両端 $x = 0, 10$ では、それぞれ $y = 10, 0$ です。いずれも非負の条件を満たします。

最大値 $25$ は $x = y = 5$ のとき。

最小値 $0$ ： $(x, y) = (0, 10), (10, 0)$ 。

係数のある条件式

一変数にして平方完成する

例題3係数の違う和の条件

実数 $x, y$ が $x + 2 y = 8$ を満たすとき、 $x^{2} + y^{2}$ の最小値と、そのときの $x, y$ を求めます。

$y = \frac{8 - x}{2}$ を代入します。この問題にも符号や区間の制限はありません。

x^{2} + y^{2}

=

x^{2} + \frac{{(8 - x)}^{2}}{4}

=

\frac{5 x^{2} - 16 x + 64}{4}

=

\frac{5}{4} {(x - \frac{8}{5})}^{2} + \frac{64}{5}

平方の項が $0$ となる $x = \frac{8}{5}$ のとき、条件式から $y = \frac{16}{5}$ です。

最小値は $\frac{64}{5}$ 。 $x = \frac{8}{5}, y = \frac{16}{5}$ のときです。

置換と範囲

新しい文字の範囲を求める

同じ式のまとまりが現れるときは、新しい文字に置き換えます。見た目が四次式でも、 $t = x^{2}$ とおくと $t$ の二次式として扱える場合があります。

例題4置換して最大・最小を求める

$- 1 \leq x \leq 2$ のとき、 $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ の最大値・最小値と、そのときの $x$ を求めます。

置換後の範囲

$t = x^{2}$ とおきます。区間内に $x = 0$ があるので、 $t$ の最小値は $0$ 。最大値は $x = 2$ のときの $4$ です。

0 \leq t \leq 4

区間の両端だけを二乗して $1 \leq t \leq 4$ とするのは誤りです。 $0 \leq x \leq 2$ の部分だけでも、 $t$ は $0$ から $4$ までのすべての値をとれます。

置換後の二次関数

y

=

t^{2} - 4 t + 3

=

{(t - 2)}^{2} - 1

次の図の横軸は $x$ ではなく $t$ です。頂点 $t = 2$ は範囲内にあり、両端 $t = 0, 4$ での値はどちらも $3$ です。

横軸

t

の範囲は

0 \leq t \leq 4

。ここで求めた

t

を、最後に

x

へ戻します。

元の範囲で答えを選ぶ

最小となる $t = 2$ から、 $x^{2} = 2$ 、 $x = \pm \sqrt{2}$ 。このうち $- \sqrt{2} < - 1$ なので、元の範囲に入るのは $x = \sqrt{2}$ だけです。

最大となる $t = 0, 4$ から、 $x = 0, \pm 2$ 。 $x = - 2$ は範囲外なので、 $x = 0, 2$ が残ります。

最大値 $3$ は $x = 0, 2$ のとき。

最小値 $- 1$ は $x = \sqrt{2}$ のときです。

よくある誤解

文字を消しても条件は消えない

消去では、消した文字の条件を残る文字で表します。置換では、新しい文字がとれる範囲を求め直します。最大・最小を求めたら元の変数に戻し、元の条件を満たす値だけを答えます。

練習問題

最大・最小の問題では、そのときの変数の値も答えましょう。

1. 実数 $x, y$ について、 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 8$ の最小値を求めよう。

答えを見る

${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + 3$ と変形できます。

最小値 $3$ 。 $x = 2, y = - 1$ のとき。

2. $x + y = 8$ から $y$ を $x$ で表そう。

答えを見る

$y = 8 - x$

3. 実数 $x, y$ が $x + y = 8$ を満たすとき、 $x^{2} + y^{2}$ の最小値を求めよう。

答えを見る

$x^{2} + {(8 - x)}^{2} = 2 {(x - 4)}^{2} + 32$ 。 $x = 4$ を条件に戻すと $y = 4$ です。

最小値 $32$ 。 $x = y = 4$ のとき。

4. $x + y = 4$ 、 $x \geq 0, y \geq 0$ のとき、 $x$ の範囲を求めよう。

答えを見る

$y = 4 - x \geq 0$ より $x \leq 4$ 。また $x \geq 0$ 。

$0 \leq x \leq 4$

5. $x + y = 4$ 、 $x \geq 0, y \geq 0$ のとき、 $x y$ の最大値・最小値を求めよう。

答えを見る

$x y = - {(x - 2)}^{2} + 4$ 、 $0 \leq x \leq 4$ です。

最大値 $4$ は $x = y = 2$ のとき。

最小値 $0$ ： $(x, y) = (0, 4), (4, 0)$ 。

6. 実数 $x, y$ が $x + 2 y = 10$ を満たすとき、 $x^{2} + y^{2}$ の最小値を求めよう。

答えを見る

$y = \frac{10 - x}{2}$ を代入すると、 $x^{2} + y^{2} = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2} + 20$ 。

最小値 $20$ 。 $x = 2, y = 4$ のとき。

7. $- 2 \leq x \leq 1$ で $t = x^{2}$ とおくとき、 $t$ の範囲を求めよう。

答えを見る

$x = 0$ で最小値 $0$ 、 $x = - 2$ で最大値 $4$ です。両端の二乗だけで決めないこと。

$0 \leq t \leq 4$

8. $- 2 \leq x \leq 1$ のとき、 $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ の最大値・最小値を求めよう。

答えを見る

$t = x^{2}$ とおくと $0 \leq t \leq 4$ 、 $y = {(t - 1)}^{2} + 1$ 。最小は $t = 1$ 、最大は $t = 4$ のときです。

$t = 1$ から $x = \pm 1$ はどちらも範囲内。 $t = 4$ から $x = \pm 2$ のうち、範囲内なのは $x = - 2$ です。

最大値 $10$ は $x = - 2$ のとき。

最小値 $1$ は $x = - 1, 1$ のとき。

まとめ

式・範囲・元の変数をつなぐ

独立な二変数では平方完成し、平方を同時にゼロにできるか確かめる。
条件式による消去では、消す文字の条件も移す。
置換したら新しい文字の範囲を求め、最後に元の変数へ戻す。