第1章数と式｜第12節

根号の整数部分・小数部分

根号を小数に直し切らなくても、どの整数の間にあるか分かれば整数部分と小数部分を求められます。平方数で挟む考え方を使います。

25〜35分｜標準｜平方数・評価・整数部分・小数部分

まず考えてみよう

\sqrt{10}

は3より大きいでしょうか、4より大きいでしょうか。小数表示を知らなくても、3と4の平方を比べれば位置を決められます。

3^{2}

=

9

9

<

10 < 16

4^{2}

=

16

3 < \sqrt{10} < 4

したがって、 $\sqrt{10}$ の整数部分は3です。

整数部分

連続する整数で根号を挟む

整数部分の見つけ方
0以上の整数

n

と0以上の数

a

について、

n^{2} \leq a < {(n + 1)}^{2}

なら、

n \leq \sqrt{a} < n + 1

です。完全平方数のときもこの形で扱えます。

例題1 $\sqrt{27}$ の整数部分を求める。

25 < 27 < 36

5 < \sqrt{27} < 6

整数部分は5。

小数部分

元の数から整数部分を引く

正の数 $x$ を「整数部分＋1未満の残り」に分けたとき、その残りが小数部分です。

\sqrt{10} = 3 + (\sqrt{10} - 3)

$3 < \sqrt{10} < 4$ なので、

0 < \sqrt{10} - 3 < 1

小数部分は $\sqrt{10} - 3$ 。

小数部分は近似値ではありません

$\sqrt{10} - 3$ のままが正確な値です。途中で3.16…のような近似小数へ直す必要はありません。

負の数に注意

整数部分は「その数以下の最大の整数」

$- \sqrt{10}$ は、符号を付けただけで整数部分が $- 3$ になるわけではありません。

- 4 < - \sqrt{10} < - 3

この数以下で最大の整数は $- 4$ です。

例題2 $- \sqrt{7}$ の整数部分と小数部分。

- 3 < - \sqrt{7} < - 2

整数部分は $- 3$ 。

- \sqrt{7} = - 3 + (3 - \sqrt{7})

小数部分は $3 - \sqrt{7}$ 。

式の値へつなぐ

整数部分・小数部分を条件として使う

例題3 $\sqrt{13}$ の小数部分を $a$ とするとき、 $a^{2} + 6 a$ を求める。

$3 < \sqrt{13} < 4$ なので、 $a = \sqrt{13} - 3$ 。

a^{2} + 6 a

=

{(a + 3)}^{2} - 9

=

13 - 9

第8節で扱った「条件から求めたい形を作る」考え方がここでも使えます。

練習問題

1. $\sqrt{20}$ の整数部分。

答えを見る

4。 $16 < 20 < 25$ 。

2. $\sqrt{20}$ の小数部分。

答えを見る

$\sqrt{20} - 4$

3. $- \sqrt{5}$ の整数部分。

答えを見る

$- 3$

4. $\sqrt{50}$ の整数部分と小数部分。

答えを見る

整数部分7、小数部分 $\sqrt{50} - 7$ 。

5. $\sqrt{17}$ の小数部分を $a$ とするとき、 $a^{2} + 8 a$ を求める。

答えを見る

$a = \sqrt{17} - 4$ 。

まとめ

平方数で挟んでから分ける

根号の位置は、前後の平方数を比較して決める。
整数部分は、その数以下で最大の整数。
小数部分は「元の数 $-$ 整数部分」で、0以上1未満。
負の数では整数部分の符号を機械的に付け替えない。