第1章数と式｜第13節

二重根号

根号の中にさらに根号がある式は、平方の展開を逆向きに読むと簡単になることがあります。見た目ではなく、和と積の条件を確認して外します。

30〜40分｜標準｜二重根号・平方の展開・和と積

まず考えてみよう

\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}

を見て、

\sqrt{3} + \sqrt{2}

を2乗すると何が起こるか確かめてみましょう。

{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}

=

3 + 2 + 2 \sqrt{6}

=

5 + 2 \sqrt{6}

どちらも正なので、

\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}

仕組み

展開公式を逆向きに読む

基本形

{(\sqrt{m} + \sqrt{n})}^{2} = m + n + 2 \sqrt{m n}

したがって、 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}}$ を $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ の形にしたいなら、

m + n = a, m n = b

となる正の数 $m$ 、 $n$ を探します。

和の形

足して外す二重根号

例題1 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ を簡単にする。

$4 \sqrt{3} = 2 \sqrt{12}$ なので、和が7、積が12になる2数を探します。

m + n = 7, m n = 12

$m = 4, n = 3$ です。

\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}

差の形

符号と絶対値に注意する

差では、平方すると交差項が負になります。

{(\sqrt{m} - \sqrt{n})}^{2} = m + n - 2 \sqrt{m n}

例題2 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ を簡単にする。

和が5、積が6なので2と3を使います。

5 - 2 \sqrt{6} = {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}

$\sqrt{3} > \sqrt{2}$ なので差は正です。

$\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\sqrt{A^{2} = | A |}$ です。
平方の形を見つけても、根号を外した結果が負にならないように符号を確認します。

見抜き方

「和」と「積」を先に探す

1. 真ん中を2倍の形にする

$c \sqrt{d}$ を $2 \sqrt{b}$ と読む。

2. 和と積を作る

$m + n = a$ 、 $m n = b$ 。

3. 符号を確認する

根号全体は0以上。差の場合は大小も確認。

いつでも外せるわけではありません

和と積の条件を満たす扱いやすい数が見つからない二重根号もあります。「見たら必ず外す」のではなく、平方の形になるかを確認します。

式の値

二重根号を外すと計算が見える

例題3 $x = \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ のとき、 $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず二重根号を外します。

x = 2 + \sqrt{3}

逆数は共役な式を使って、

\frac{1}{x} = 2 - \sqrt{3}

$x + \frac{1}{x} = 4$

練習問題

1. $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を簡単にする。

答えを見る

$1 + \sqrt{2}$

2. $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}}$ を簡単にする。

答えを見る

$\sqrt{5} + \sqrt{3}$

3. $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$ を簡単にする。

答えを見る

$2 - \sqrt{3}$

4. $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}}$ を簡単にする。

答えを見る

$\sqrt{5} - 2$

5. $\sqrt{10 + 2 \sqrt{21}}$ を簡単にする。

答えを見る

$\sqrt{7} + \sqrt{3}$

まとめ

二重根号は平方の展開を逆に使う

${(\sqrt{m} \pm \sqrt{n})}^{2}$ の展開と見比べる。
外側の数は $m + n$ 、内側は $m n$ から決める。
差の形では、平方根を外した結果が0以上になるよう大小を確認する。
条件に合う数が見つからないなら、無理に外さない。